Номер 513, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

513. Задача Фаульхабера (Германия, 1580–1635). Докажите, что

для любого натурального n выполняется равенство

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \dots + n^5 = \frac{1}{12}(2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2)$

Докажем данное равенство методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость утверждения для $n=1$.
Левая часть равенства: $S_1 = 1^5 = 1$.
Правая часть равенства: $\frac{1}{12}(2 \cdot 1^6 + 6 \cdot 1^5 + 5 \cdot 1^4 - 1^2) = \frac{1}{12}(2 + 6 + 5 - 1) = \frac{12}{12} = 1$.
Так как $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, предположим, что:$$1^5 + 2^5 + \dots + k^5 = \frac{1}{12}(2k^6 + 6k^5 + 5k^4 - k^2)$$

Индукционный шаг. Докажем, что из этого следует справедливость равенства для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать:$$1^5 + 2^5 + \dots + k^5 + (k+1)^5 = \frac{1}{12}(2(k+1)^6 + 6(k+1)^5 + 5(k+1)^4 - (k+1)^2)$$

Рассмотрим левую часть $S_{k+1}$ этого равенства. Используя индукционное предположение, мы можем заменить сумму первых $k$ слагаемых:$$S_{k+1} = (1^5 + 2^5 + \dots + k^5) + (k+1)^5 = \frac{1}{12}(2k^6 + 6k^5 + 5k^4 - k^2) + (k+1)^5$$Приведем к общему знаменателю:$$S_{k+1} = \frac{(2k^6 + 6k^5 + 5k^4 - k^2) + 12(k+1)^5}{12}$$Раскроем $(k+1)^5$ по формуле бинома Ньютона:$$(k+1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1$$Тогда $12(k+1)^5 = 12k^5 + 60k^4 + 120k^3 + 120k^2 + 60k + 12$.
Подставим это выражение в числитель для $S_{k+1}$ и приведем подобные слагаемые:$$ \text{Числитель левой части} = (2k^6 + 6k^5 + 5k^4 - k^2) + (12k^5 + 60k^4 + 120k^3 + 120k^2 + 60k + 12) $$$$ = 2k^6 + (6+12)k^5 + (5+60)k^4 + 120k^3 + (-1+120)k^2 + 60k + 12 $$$$ = 2k^6 + 18k^5 + 65k^4 + 120k^3 + 119k^2 + 60k + 12 $$

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:$$ F(k+1) = \frac{1}{12}(2(k+1)^6 + 6(k+1)^5 + 5(k+1)^4 - (k+1)^2) $$Раскроем скобки в числителе, используя разложения по биному Ньютона:$(k+1)^6 = k^6 + 6k^5 + 15k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 6k + 1$$(k+1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1$$(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$$(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$

Подставим эти разложения в выражение для числителя правой части:$$ \text{Числитель правой части} = 2(k^6 + 6k^5 + \dots) + 6(k^5 + 5k^4 + \dots) + 5(k^4 + \dots) - (k^2 + \dots) $$Сгруппируем слагаемые по степеням $k$:
$k^6: 2 \cdot 1 = 2$
$k^5: 2 \cdot 6 + 6 \cdot 1 = 12 + 6 = 18$
$k^4: 2 \cdot 15 + 6 \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 30 + 30 + 5 = 65$
$k^3: 2 \cdot 20 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 4 = 40 + 60 + 20 = 120$
$k^2: 2 \cdot 15 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 6 - 1 = 30 + 60 + 30 - 1 = 119$
$k^1: 2 \cdot 6 + 6 \cdot 5 + 5 \cdot 4 - 2 = 12 + 30 + 20 - 2 = 60$
$k^0: 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 = 2 + 6 + 5 - 1 = 12$
Таким образом, числитель правой части равен:$$ 2k^6 + 18k^5 + 65k^4 + 120k^3 + 119k^2 + 60k + 12 $$

Мы получили, что числитель левой части и числитель правой части равны. Следовательно, $S_{k+1} = F(k+1)$, и равенство для $n=k+1$ верно.

Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказательство справедливости равенства для любого натурального $n$ приведено выше методом математической индукции.