Номер 510, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

510. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}$

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

База индукции

Проверим справедливость утверждения для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства: $1^3 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как левая и правая части равны ($1=1$), утверждение $P(1)$ является верным.

Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$.

То есть, мы предполагаем истинность равенства: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Индукционный шаг

Докажем, что если утверждение $P(k)$ верно, то верно и утверждение $P(k+1)$. Иными словами, докажем, что:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Её можно представить в виде суммы первых $k$ членов и $(k+1)$-го члена:

$(1^3 + 2^3 + \ldots + k^3) + (k+1)^3$.

Согласно индукционному предположению, заменим сумму в скобках:

$\frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Преобразуем полученное выражение. Вынесем за скобки общий множитель $(k+1)^2$:

$(k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right)$.

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$(k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + \frac{4(k+1)}{4} \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right)$.

Выражение в числителе дроби, $k^2 + 4k + 4$, является полным квадратом двучлена $(k+2)$.

Таким образом, мы получаем:

$\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$, так как $(k+1)+1=k+2$.

Следовательно, мы доказали, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$.

Поскольку база индукции и индукционный шаг выполнены, по принципу математической индукции равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ для любого натурального $n$ доказано.