Номер 503, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

503. a) В чём заключается принцип математической индукции?

б) Объясните, как доказывают утверждения методом математической индукции, на примере доказательства равенства $1^n = 1$ для любого натурального $n$.

а)

Принцип математической индукции — это метод доказательства утверждений, которые должны быть верны для всех натуральных чисел (или для всех натуральных чисел, начиная с некоторого $n_0$). Доказательство с помощью этого метода состоит из двух ключевых шагов:

1. База индукции (или базис индукции). На этом шаге доказывается, что утверждение верно для начального натурального числа, обычно для $n=1$.
2. Индукционный шаг (или индукционный переход). На этом шаге доказывается следующее: если предположить, что утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (это предположение называется индукционным предположением), то из этого следует, что утверждение будет верным и для следующего за ним числа, то есть для $k+1$.

Если оба этих шага успешно выполнены, то по принципу математической индукции считается доказанным, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$ (начиная с того, для которого была проверена база индукции).

Ответ: Принцип математической индукции заключается в доказательстве истинности утверждения для всех натуральных чисел путем проверки его истинности для первого числа (база индукции) и доказательства того, что из истинности утверждения для произвольного числа $k$ следует его истинность для следующего числа $k+1$ (индукционный шаг).

б)

Объясним, как доказать равенство $1^n = 1$ для любого натурального $n$ методом математической индукции.

Обозначим доказываемое утверждение как $P(n): 1^n = 1$.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли утверждение $P(n)$ для самого первого натурального числа $n=1$.
Подставляем $n=1$ в наше равенство:
$P(1): 1^1 = 1$.
Равенство $1=1$ является верным. Таким образом, база индукции доказана.

2. Индукционный шаг.
Сделаем индукционное предположение: предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы считаем истиной, что $1^k = 1$.
Теперь, опираясь на это предположение, нам нужно доказать, что утверждение $P(k+1)$ также верно. То есть, мы должны доказать, что $1^{k+1} = 1$.
Рассмотрим левую часть выражения для $P(k+1)$:
$1^{k+1}$.
Используя свойство степеней ($a^{x+y} = a^x \cdot a^y$), мы можем записать:
$1^{k+1} = 1^k \cdot 1^1$.
Теперь применим наше индукционное предположение, согласно которому $1^k = 1$. Заменим $1^k$ на 1 в правой части равенства:
$1^k \cdot 1^1 = 1 \cdot 1^1$.
Так как любое число в первой степени равно самому себе, $1^1 = 1$. Подставим это значение:
$1 \cdot 1 = 1$.
Мы получили, что левая часть выражения $1^{k+1}$ равна 1, что и требовалось доказать ($1^{k+1} = 1$). Индукционный шаг выполнен.

Вывод.
Поскольку мы успешно доказали базу индукции (утверждение верно для $n=1$) и выполнили индукционный шаг (доказали, что из истинности утверждения для $k$ следует его истинность для $k+1$), по принципу математической индукции мы заключаем, что равенство $1^n=1$ верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказательство равенства $1^n = 1$ методом математической индукции включает два шага. 1) База индукции: при $n=1$ получаем $1^1=1$, что верно. 2) Индукционный шаг: предполагаем, что $1^k=1$ для некоторого натурального $k$, и доказываем для $k+1$. Имеем $1^{k+1} = 1^k \cdot 1^1$. Используя предположение, получаем $1 \cdot 1^1 = 1 \cdot 1 = 1$. Так как оба шага выполнены, равенство доказано для всех натуральных $n$.