Номер 504, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (504—516).

504. Докажите методом математической индукции равенство:

а) $a^n b^n = (ab)^n$;

б) $(a^n)^m = a^{mn}$.

а) Докажем равенство $a^n b^n = (ab)^n$ методом математической индукции по переменной $n$. Предполагаем, что $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

1. База индукции

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть равенства: $a^1 b^1 = ab$.

Правая часть равенства: $(ab)^1 = ab$.

Поскольку $ab = ab$, левая и правая части равны. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что истинно равенство:

$a^k b^k = (ab)^k$

3. Индукционный шаг

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $a^{k+1} b^{k+1} = (ab)^{k+1}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$a^{k+1} b^{k+1}$

По определению степени ($x^{m+1} = x^m \cdot x$), мы можем записать:

$a^{k+1} b^{k+1} = (a^k \cdot a) \cdot (b^k \cdot b)$

Используя коммутативное и ассоциативное свойства умножения, перегруппируем множители:

$(a^k \cdot a) \cdot (b^k \cdot b) = (a^k \cdot b^k) \cdot (a \cdot b)$

Теперь применим наше индукционное предположение, согласно которому $a^k b^k = (ab)^k$:

$(a^k \cdot b^k) \cdot (ab) = (ab)^k \cdot (ab)$

Снова используя определение степени, получаем:

$(ab)^k \cdot (ab) = (ab)^{k+1}$

Мы показали, что левая часть равна правой: $a^{k+1} b^{k+1} = (ab)^{k+1}$. Индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции равенство $a^n b^n = (ab)^n$ верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $(a^n)^m = a^{mn}$ методом математической индукции. Будем проводить индукцию по переменной $m$, считая $n$ фиксированным натуральным числом, а $m$ — натуральным числом ($m \in \mathbb{N}$).

1. База индукции

Проверим истинность утверждения для $m=1$.

Левая часть равенства: $(a^n)^1 = a^n$.

Правая часть равенства: $a^{n \cdot 1} = a^n$.

Поскольку $a^n = a^n$, левая и правая части равны. Утверждение верно для $m=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $m=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что истинно равенство:

$(a^n)^k = a^{nk}$

3. Индукционный шаг

Докажем, что если равенство верно для $m=k$, то оно верно и для $m=k+1$. Нам нужно доказать, что $(a^n)^{k+1} = a^{n(k+1)}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $m=k+1$:

$(a^n)^{k+1}$

По определению степени ($x^{p+1} = x^p \cdot x$), имеем:

$(a^n)^{k+1} = (a^n)^k \cdot a^n$

Применим наше индукционное предположение $(a^n)^k = a^{nk}$:

$(a^n)^k \cdot a^n = a^{nk} \cdot a^n$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$ (которое, в свою очередь, также легко доказывается по индукции), получим:

$a^{nk} \cdot a^n = a^{nk+n}$

Вынесем общий множитель $n$ в показателе степени:

$a^{nk+n} = a^{n(k+1)}$

Мы показали, что левая часть равна правой: $(a^n)^{k+1} = a^{n(k+1)}$. Индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции равенство $(a^n)^m = a^{mn}$ верно для любого натурального числа $m$ (при любом натуральном $n$).

Ответ: Равенство доказано.