Номер 500, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

500. Доказываем. Задача П. Ферма (1601–1665). Докажите, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\{a_n\}$, имеющей сумму S, выполняется равенство

$ \frac{S}{S-a_1} = \frac{a_1}{a_2} $.

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. Условие того, что прогрессия является бесконечно убывающей, означает, что $|q| < 1$.

Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по известной формуле: $$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$ Для существования суммы необходимо, чтобы $a_1 \neq 0$ и $q \neq 1$. Также из условия задачи следует, что $a_2 \neq 0$, а значит $q \neq 0$.

Наша задача — доказать равенство: $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2} $$ Для этого преобразуем левую часть равенства, подставив в нее формулу для суммы $S$.

Сначала рассмотрим выражение в знаменателе левой части, $S - a_1$: $$ S - a_1 = \frac{a_1}{1 - q} - a_1 $$ Приводя к общему знаменателю, получаем: $$ S - a_1 = \frac{a_1 - a_1(1 - q)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_1 + a_1q}{1 - q} = \frac{a_1q}{1 - q} $$

Теперь подставим выражения для $S$ и $S - a_1$ в левую часть доказываемого равенства: $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{\frac{a_1}{1 - q}}{\frac{a_1q}{1 - q}} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: $$ \frac{a_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{a_1q} $$ Сокращаем одинаковые множители $(1 - q)$ в числителе и знаменателе, а также $a_1$ (так как $a_1 \neq 0$): $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{1}{q} $$

Теперь рассмотрим правую часть равенства, $\frac{a_1}{a_2}$.

По определению геометрической прогрессии, ее второй член $a_2$ равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии: $a_2 = a_1q$. Подставим это в правую часть: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_1}{a_1q} $$ Сократив $a_1$, получаем: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{q} $$

Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$. Следовательно, равенство верно. $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{1}{q} \quad \text{и} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{q} \implies \frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2}$ доказано путем преобразования обеих его частей к одному и тому же виду $\frac{1}{q}$.