Номер 496, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

496. Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна $64$, произведение первого и десятого членов равно $16$. Найдите сумму чисел, обратных этим десяти членам геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда последовательность первых десяти членов имеет вид: $b_1, b_1q, b_1q^2, \dots, b_1q^9$.

По условию задачи даны:
1. Сумма первых десяти членов: $S_{10} = b_1 + b_2 + \dots + b_{10} = 64$.
2. Произведение первого и десятого членов: $b_1 \cdot b_{10} = 16$.

Требуется найти сумму чисел, обратных этим десяти членам. Обозначим эту сумму как $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_{10}}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} + \dots + \frac{1}{b_1q^9}$

Приведем все дроби в этой сумме к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих слагаемых равен $b_1q^9$.$S'_{10} = \frac{q^9 + q^8 + q^7 + \dots + q + 1}{b_1q^9}$

Рассмотрим сумму $S_{10}$, данную в условии:$S_{10} = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^9$Вынесем $b_1$ за скобки:$S_{10} = b_1(1 + q + q^2 + \dots + q^9)$

Из этого выражения мы можем выразить числитель дроби для $S'_{10}$:$1 + q + q^2 + \dots + q^9 = \frac{S_{10}}{b_1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{\frac{S_{10}}{b_1}}{b_1q^9} = \frac{S_{10}}{b_1 \cdot b_1q^9} = \frac{S_{10}}{b_1^2q^9}$

Используем второе условие задачи: произведение первого и десятого членов равно 16. Десятый член прогрессии $b_{10}$ равен $b_1q^9$.$b_1 \cdot b_{10} = b_1 \cdot (b_1q^9) = b_1^2q^9$По условию, $b_1 \cdot b_{10} = 16$, следовательно, $b_1^2q^9 = 16$.

Подставим известные значения $S_{10} = 64$ и $b_1^2q^9 = 16$ в нашу формулу для $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{64}{16} = 4$

Ответ: 4