Номер 497, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

497. a) Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей?

б) Придумайте пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая не является убывающей последовательностью.

а) Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют геометрическую прогрессию $(b_n)$, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Это означает, что знаменатель прогрессии по модулю (по абсолютной величине) должен быть меньше единицы. Главной особенностью таких прогрессий является то, что сумма их бесконечного числа членов сходится к конечному значению, которое можно вычислить по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии. Сами члены такой прогрессии по абсолютной величине неограниченно приближаются к нулю с ростом их номера $n$.

Ответ: Бесконечно убывающей называют геометрическую прогрессию, у которой модуль знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

б) Чтобы найти пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая не является убывающей последовательностью, нужно выбрать знаменатель $q$ так, чтобы выполнялось условие $|q| < 1$, но при этом последовательность не была монотонно убывающей (то есть чтобы не для всех $n$ выполнялось неравенство $b_{n+1} < b_n$).

Такая ситуация возникает, если выбрать отрицательный знаменатель $q$ из интервала $(-1, 0)$. В этом случае знаки членов прогрессии будут чередоваться, и последовательность будет колебаться, а не монотонно убывать или возрастать.

Рассмотрим в качестве примера геометрическую прогрессию, у которой первый член $b_1 = 10$, а знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Эта прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель удовлетворяет условию $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Выпишем несколько первых членов этой прогрессии: $b_1 = 10$; $b_2 = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$; $b_3 = -5 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2.5$; $b_4 = 2.5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1.25$ и так далее. Мы получили последовательность: $10, -5, 2.5, -1.25, \dots$

Эта последовательность не является убывающей. Убывающая последовательность требует, чтобы каждый следующий член был строго меньше предыдущего. В нашем примере второй член меньше первого ($b_2 < b_1$, так как $-5 < 10$), но третий член больше второго ($b_3 > b_2$, так как $2.5 > -5$). Поскольку условие $b_{n+1} < b_n$ выполняется не для всех $n$, данная последовательность не является убывающей.

Ответ: Примером может служить прогрессия с первым членом $b_1=10$ и знаменателем $q = -0.5$, то есть последовательность $10, -5, 2.5, -1.25, \ldots$