Номер 495, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

495. Вычислите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если:

а) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 4, а между четвёртым и третьим равна 16;

б) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 3, а сумма трёх её первых членов равна 21;

в) сумма трёх первых членов прогрессии равна 111, а куб её знаменателя равен $q^3 = 4$.

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель. Наша цель – найти $S_6$ в каждом из случаев.

По условию, разность между вторым и первым членами прогрессии равна 4, а между четвёртым и третьим – 16. Запишем это в виде системы уравнений, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$ \begin{cases} b_2 - b_1 = 4 \\ b_4 - b_3 = 16 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q - b_1 = 4 \\ b_1q^3 - b_1q^2 = 16 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 4 \\ b_1q^2(q - 1) = 16 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (поскольку правые части не равны нулю, то $b_1 \ne 0$ и $q \ne 1$):

$\frac{b_1q^2(q - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{16}{4}$

$q^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = 2$ или $q = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 4$:

$b_1(2 - 1) = 4 \implies b_1 = 4$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов прогрессии:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{4(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{4(64 - 1)}{1} = 4 \cdot 63 = 252$.

Случай 2: $q = -2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 4$:

$b_1(-2 - 1) = 4 \implies -3b_1 = 4 \implies b_1 = -\frac{4}{3}$.

Вычислим сумму первых шести членов для этого случая:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-\frac{4}{3}((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{4}{3}(64 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{4}{3} \cdot 63}{-3} = \frac{-4 \cdot 21}{-3} = \frac{-84}{-3} = 28$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ: 252 или 28.

По условию, разность между вторым и первым членами прогрессии равна 3, а сумма трёх её первых членов равна 21. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_2 - b_1 = 3 \\ b_1 + b_2 + b_3 = 21 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q - b_1 = 3 \\ b_1 + b_1q + b_1q^2 = 21 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 3 \\ b_1(1 + q + q^2) = 21 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{3}{q-1}$ (при $q \ne 1$) и подставим во второе уравнение:

$\frac{3}{q - 1}(1 + q + q^2) = 21$

Разделим обе части на 3:

$\frac{1 + q + q^2}{q - 1} = 7$

$1 + q + q^2 = 7(q - 1)$

$1 + q + q^2 = 7q - 7$

$q^2 - 6q + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $q_1 = 2$ и $q_2 = 4$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$.

Найдем $b_1$ из уравнения $b_1(q - 1) = 3$:

$b_1(2 - 1) = 3 \implies b_1 = 3$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3 \cdot 63 = 189$.

Случай 2: $q = 4$.

Найдем $b_1$ из уравнения $b_1(q - 1) = 3$:

$b_1(4 - 1) = 3 \implies 3b_1 = 3 \implies b_1 = 1$.

Вычислим сумму первых шести членов для этого случая:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{1(4^6 - 1)}{4 - 1} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365$.

Таким образом, и в этом пункте условию задачи удовлетворяют две прогрессии.

Ответ: 189 или 1365.

По условию, сумма трёх первых членов прогрессии равна 111, а куб её знаменателя равен 4.

$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 111$

$q^3 = 4$

Нам нужно найти $S_6$. Запишем $S_6$ и преобразуем выражение:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6$

Сгруппируем слагаемые:

$S_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$

Первая скобка – это $S_3$. Во второй скобке вынесем за скобки $q^3$:

$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = q^3(b_1 + b_1q + b_1q^2) = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$

Таким образом, получаем элегантную формулу:

$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$

Подставим известные значения $S_3 = 111$ и $q^3 = 4$:

$S_6 = 111(1 + 4) = 111 \cdot 5 = 555$.

Ответ: 555.