Номер 498, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

498. Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ${a_n}$, если:

а) $a_1 = 4, q = \frac{1}{2}$;

б) $a_1 = 4, q = -\frac{1}{2}$;

в) $a_1 = 5, q = \frac{1}{10}$;

г) $a_1 = 5, q = -\frac{1}{10}$.

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{a_1}{1 - q}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Для всех заданных случаев это условие выполняется.

а)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 4$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.

б)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 4$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

в)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 5$ и знаменатель $q = \frac{1}{10}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{10}| = \frac{1}{10} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{9}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{9} = \frac{50}{9}$.

Ответ: $\frac{50}{9}$.

г)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 5$ и знаменатель $q = -\frac{1}{10}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{10}| = \frac{1}{10} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - (-\frac{1}{10})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{11}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{11} = \frac{50}{11}$.

Ответ: $\frac{50}{11}$.