Номер 501, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

501. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$; 1; $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$; ...

б) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$; 1; $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$; ...

а) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель (при условии, что $|q| < 1$).

В данной прогрессии первый член $b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый ($q = b_2 / b_1$):
$q = \frac{1}{b_1} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.
Упростим выражение для $q$:
$q = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Проверим, является ли прогрессия бесконечно убывающей. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие $|q| < 1$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $q = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$.
Поскольку $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Теперь можем вычислить сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе полученного выражения:
$S = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему. Сначала найдем и упростим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Теперь находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.
Упростим $q$:
$q = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$.

Проверим условие $|q| < 1$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$q = 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172$.
Поскольку $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Вычисляем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:
$S = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1 - (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1 - 3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} - 1)}$.

Упростим итоговое выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$S = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{2((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{3\sqrt{2} + 3 + 2 \cdot 2 + 2\sqrt{2}}{2(2 - 1)} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{2}$.

Ответ: $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$.