Номер 508, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

508. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство:

а) $1 + 2 + 3 + \dots + n \le n^2$;

б) $2 + 4 + 6 + \dots + 2n < (n + 1)^2$;

в) $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n}{2n + 1} > \frac{1}{2n}$;

г) $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n - 1}{2n} < \frac{2n}{2n + 1}$;

д) $4^n > 7n - 5$;

е) $2^n > 5n + 1, n \ge 5$.

а) Докажем неравенство $1 + 2 + 3 + \dots + n \le n^2$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ неравенство принимает вид $1 \le 1^2$, или $1 \le 1$. Это верное неравенство.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $1 + 2 + 3 + \dots + k \le k^2$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) \le (k+1)^2$.
Преобразуем левую часть неравенства, используя индукционное предположение:
$(1 + 2 + 3 + \dots + k) + (k+1) \le k^2 + (k+1)$.
Теперь нам нужно доказать, что $k^2 + k + 1 \le (k+1)^2$.
$(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$.
Сравниваем $k^2 + k + 1$ и $k^2 + 2k + 1$:
$k^2 + k + 1 \le k^2 + 2k + 1 \Leftrightarrow k \le 2k \Leftrightarrow 0 \le k$.
Поскольку $k$ — натуральное число, $k \ge 1$, то неравенство $0 \le k$ верно. Следовательно, индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $2 + 4 + 6 + \dots + 2n < (n+1)^2$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ неравенство принимает вид $2 < (1+1)^2$, или $2 < 4$. Это верное неравенство.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $2 + 4 + 6 + \dots + 2k < (k+1)^2$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $2 + 4 + 6 + \dots + 2k + 2(k+1) < ((k+1)+1)^2 = (k+2)^2$.
Используя индукционное предположение, получаем:
$(2 + 4 + 6 + \dots + 2k) + 2(k+1) < (k+1)^2 + 2(k+1)$.
Докажем, что $(k+1)^2 + 2(k+1) < (k+2)^2$.
$(k+1)^2 + 2(k+1) = k^2 + 2k + 1 + 2k + 2 = k^2 + 4k + 3$.
$(k+2)^2 = k^2 + 4k + 4$.
Неравенство $k^2 + 4k + 3 < k^2 + 4k + 4$ сводится к $3 < 4$, что является верным. Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n}{2n+1} > \frac{1}{2n}$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ неравенство имеет вид $\frac{2}{3} > \frac{1}{2 \cdot 1}$, или $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$. Это верно, так как $4 > 3$.

2. Индукционное предположение.
Пусть для некоторого натурального $k \ge 1$ выполняется неравенство $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{2k}{2k+1} > \frac{1}{2k}$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2(k+1)}{2(k+1)+1} > \frac{1}{2(k+1)}$.
Левая часть: $(\frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{2k}{2k+1}) \cdot \frac{2k+2}{2k+3}$. По предположению индукции, она больше чем $\frac{1}{2k} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} = \frac{k+1}{k(2k+3)}$.
Осталось доказать, что $\frac{k+1}{k(2k+3)} > \frac{1}{2(k+1)}$.
Поскольку обе части положительны при $k \ge 1$, можем домножить на знаменатели:
$2(k+1)^2 > k(2k+3) \Leftrightarrow 2(k^2 + 2k + 1) > 2k^2 + 3k \Leftrightarrow 2k^2 + 4k + 2 > 2k^2 + 3k \Leftrightarrow k + 2 > 0$.
Это неравенство верно для всех натуральных $k$. Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ неравенство имеет вид $\frac{1}{2} < \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1}$, или $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$. Это верно, так как $3 < 4$.

2. Индукционное предположение.
Пусть для некоторого натурального $k \ge 1$ выполняется неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} < \frac{2(k+1)}{2(k+1)+1}$.
Левая часть: $(\frac{1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{2k-1}{2k}) \cdot \frac{2k+1}{2k+2}$. По предположению индукции, она меньше чем $\frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} = \frac{2k}{2k+2} = \frac{k}{k+1}$.
Осталось доказать, что $\frac{k}{k+1} < \frac{2(k+1)}{2k+3}$.
$k(2k+3) < (k+1) \cdot 2(k+1) \Leftrightarrow 2k^2 + 3k < 2(k^2+2k+1) \Leftrightarrow 2k^2 + 3k < 2k^2 + 4k + 2 \Leftrightarrow 0 < k+2$.
Это неравенство верно для всех натуральных $k$. Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем неравенство $4^n > 7n - 5$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ неравенство принимает вид $4^1 > 7 \cdot 1 - 5$, или $4 > 2$. Это верное неравенство.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $4^k > 7k - 5$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $4^{k+1} > 7(k+1) - 5$.
Правая часть равна $7k+7-5 = 7k+2$.
Рассмотрим левую часть: $4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$. Используя индукционное предположение, имеем:
$4 \cdot 4^k > 4(7k-5) = 28k - 20$.
Докажем, что $28k - 20 > 7k+2$.
$21k > 22 \Leftrightarrow k > \frac{22}{21}$.
Это неравенство верно для всех $k \ge 2$. Для $k=1$ этот переход не работает. Однако, мы можем использовать другой подход.
$4^{k+1} = 4^k + 3 \cdot 4^k$. По предположению индукции $4^k > 7k-5$.
$4^{k+1} > (7k-5) + 3 \cdot 4^k$. Нам нужно доказать, что $4^{k+1} > 7k+2$.
Достаточно доказать, что $(7k-5) + 3 \cdot 4^k > 7k+2$, что эквивалентно $3 \cdot 4^k > 7$.
При $k=1$, $3 \cdot 4^1 = 12 > 7$. Поскольку $4^k$ — возрастающая функция, неравенство $3 \cdot 4^k > 7$ верно для всех натуральных $k \ge 1$. Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем неравенство $2^n > 5n + 1$ для $n \ge 5$ методом математической индукции.

1. База индукции.
При $n=5$ (наименьшее значение по условию) неравенство принимает вид $2^5 > 5 \cdot 5 + 1$, или $32 > 26$. Это верное неравенство.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть $2^k > 5k + 1$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$.
Правая часть равна $5k+5+1 = 5k+6$.
Рассмотрим левую часть: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$. Используя индукционное предположение, имеем:
$2 \cdot 2^k > 2(5k+1) = 10k + 2$.
Теперь докажем, что $10k+2 > 5k+6$.
$5k > 4 \Leftrightarrow k > \frac{4}{5}$.
Поскольку мы рассматриваем $k \ge 5$, неравенство $k > \frac{4}{5}$ очевидно верно. Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n \ge 5$.
Ответ: Неравенство доказано.