Номер 507, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

507. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:

а) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n+1)n}{2}$;

б) $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1)$;

в) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$;

г) $3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} = 4^n - 1$;

д) $4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2 - n) = 2n(3 - n)$;

е) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$;

ж) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$.

а) Докажем равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(n+1)n}{2}$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость утверждения для $n=1$.

Левая часть: $1$.

Правая часть: $\frac{(1+1) \cdot 1}{2} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$.

$1 = 1$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. То есть, докажем, что $1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1)$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму первых $k$ слагаемых:
$\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$.

Приведем к общему знаменателю и преобразуем выражение:
$\frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Следовательно, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость утверждения для $n=1$.

Левая часть: $2 \cdot 1 = 2$.

Правая часть: $1(1+1) = 2$.

$2 = 2$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2)$.

Рассмотрим левую часть:
$(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1)$.

Используя индукционное предположение:
$k(k+1) + 2(k+1)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:
$(k+1)(k+2)$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем равенство $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим для $n=1$.

Левая часть: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Правая часть: $1^2 = 1$.

$1=1$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$.

Рассмотрим левую часть:
$(1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)) + (2k+2-1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)) + (2k+1)$.

По индукционному предположению:
$k^2 + (2k+1)$.

Это выражение является полным квадратом:
$k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

г) Докажем равенство $3 + 12 + ... + 3 \cdot 4^{n-1} = 4^n-1$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим для $n=1$.

Левая часть: $3 \cdot 4^{1-1} = 3 \cdot 4^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Правая часть: $4^1 - 1 = 3$.

$3=3$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$3 + 12 + ... + 3 \cdot 4^{k-1} = 4^k-1$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$3 + 12 + ... + 3 \cdot 4^{k-1} + 3 \cdot 4^{(k+1)-1} = 4^{k+1}-1$.

Рассмотрим левую часть:
$(3 + 12 + ... + 3 \cdot 4^{k-1}) + 3 \cdot 4^k$.

По индукционному предположению:
$(4^k - 1) + 3 \cdot 4^k$.

Сгруппируем слагаемые:
$4^k + 3 \cdot 4^k - 1 = (1+3) \cdot 4^k - 1 = 4 \cdot 4^k - 1 = 4^{k+1} - 1$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

д) Докажем равенство $4 + 0 + ... + 4(2-n) = 2n(3-n)$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим для $n=1$.

Левая часть: $4(2-1) = 4$.

Правая часть: $2 \cdot 1 \cdot (3-1) = 2 \cdot 2 = 4$.

$4=4$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$4(2-1) + 4(2-2) + ... + 4(2-k) = 2k(3-k)$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$(4(2-1) + ... + 4(2-k)) + 4(2-(k+1)) = 2(k+1)(3-(k+1))$.

Рассмотрим левую часть. По индукционному предположению, она равна:
$2k(3-k) + 4(2-k-1) = 2k(3-k) + 4(1-k)$.

Раскроем скобки:
$6k - 2k^2 + 4 - 4k = -2k^2 + 2k + 4$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства:
$2(k+1)(3-(k+1)) = 2(k+1)(2-k) = 2(2k-k^2+2-k) = 2(-k^2+k+2) = -2k^2+2k+4$.

Левая и правая части совпали, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

е) Докажем равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим для $n=1$.

Левая часть: $1(1+1) = 2$.

Правая часть: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.

$2=2$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$(1 \cdot 2 + ... + k(k+1)) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Рассмотрим левую часть. Используя предположение индукции:
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:
$(k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \left(\frac{k+3}{3}\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

ж) Докажем равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим для $n=1$.

Левая часть: $1(3 \cdot 1 + 1) = 4$.

Правая часть: $1(1+1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

$4=4$. Равенство выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + ... + k(3k+1) = k(k+1)^2$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$:
$(1 \cdot 4 + ... + k(3k+1)) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим левую часть. По предположению индукции:
$k(k+1)^2 + (k+1)(3k+3+1) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:
$(k+1)[k(k+1) + (3k+4)] = (k+1)[k^2+k+3k+4] = (k+1)(k^2+4k+4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом:
$(k+1)(k+2)^2$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.