Номер 514, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

514. Докажите, что для любого натурального n:

а) $5^n + 3$ делится на 4;

б) $7^n + 5$ делится на 6;

в) $4^n + 6n - 1$ делится на 9;

г) $5^n + 4n - 1$ делится на 8.

Для доказательства данных утверждений для любого натурального $n$ воспользуемся методом математической индукции.

Докажем, что выражение $5^n + 3$ делится на 4 для любого натурального $n$.

1. База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$5^1 + 3 = 5 + 3 = 8$.
Число 8 делится на 4 ($8 = 4 \cdot 2$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $5^k + 3$ делится на 4. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $5^k + 3 = 4m$. Из этого равенства выразим $5^k = 4m - 3$.

3. Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $5^{k+1} + 3$ делится на 4.
Рассмотрим выражение $5^{k+1} + 3$: $5^{k+1} + 3 = 5 \cdot 5^k + 3$.
Подставим выражение для $5^k$ из индукционного предположения: $5(4m - 3) + 3 = 20m - 15 + 3 = 20m - 12$.
Вынесем общий множитель 4 за скобки: $20m - 12 = 4(5m - 3)$.
Поскольку $m$ — целое число, то $5m - 3$ также является целым числом. Следовательно, выражение $4(5m - 3)$ делится на 4.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение, что $5^n + 3$ делится на 4, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажем, что выражение $7^n + 5$ делится на 6 для любого натурального $n$.

1. База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$7^1 + 5 = 7 + 5 = 12$.
Число 12 делится на 6 ($12 = 6 \cdot 2$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $7^k + 5$ делится на 6. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $7^k + 5 = 6m$. Отсюда $7^k = 6m - 5$.

3. Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $7^{k+1} + 5$ делится на 6.
$7^{k+1} + 5 = 7 \cdot 7^k + 5$.
Подставим $7^k = 6m - 5$: $7(6m - 5) + 5 = 42m - 35 + 5 = 42m - 30$.
Вынесем 6 за скобки: $42m - 30 = 6(7m - 5)$.
Так как $m$ — целое число, $7m - 5$ тоже целое, и выражение $6(7m - 5)$ делится на 6.

По принципу математической индукции, утверждение, что $7^n + 5$ делится на 6, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажем, что выражение $4^n + 6n - 1$ делится на 9 для любого натурального $n$.

1. База индукции:
Проверим для $n=1$.
$4^1 + 6(1) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$.
Число 9 делится на 9 ($9 = 9 \cdot 1$), утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение:
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $4^k + 6k - 1$ делится на 9. То есть существует целое число $m$ такое, что $4^k + 6k - 1 = 9m$. Отсюда $4^k = 9m - 6k + 1$.

3. Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть $4^{k+1} + 6(k+1) - 1$ делится на 9.
$4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 6 - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 5$.
Подставим $4^k = 9m - 6k + 1$: $4(9m - 6k + 1) + 6k + 5 = 36m - 24k + 4 + 6k + 5 = 36m - 18k + 9$.
Вынесем 9 за скобки: $36m - 18k + 9 = 9(4m - 2k + 1)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках является целым числом, и, следовательно, $9(4m - 2k + 1)$ делится на 9.

По принципу математической индукции, утверждение, что $4^n + 6n - 1$ делится на 9, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажем, что выражение $5^n + 4n - 1$ делится на 8 для любого натурального $n$.

1. База индукции:
Проверим для $n=1$.
$5^1 + 4(1) - 1 = 5 + 4 - 1 = 8$.
Число 8 делится на 8 ($8 = 8 \cdot 1$), утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение:
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $5^k + 4k - 1$ делится на 8. То есть существует целое число $m$ такое, что $5^k + 4k - 1 = 8m$. Отсюда $5^k = 8m - 4k + 1$.

3. Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть $5^{k+1} + 4(k+1) - 1$ делится на 8.
$5^{k+1} + 4(k+1) - 1 = 5 \cdot 5^k + 4k + 4 - 1 = 5 \cdot 5^k + 4k + 3$.
Подставим $5^k = 8m - 4k + 1$: $5(8m - 4k + 1) + 4k + 3 = 40m - 20k + 5 + 4k + 3 = 40m - 16k + 8$.
Вынесем 8 за скобки: $40m - 16k + 8 = 8(5m - 2k + 1)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках является целым числом, и, следовательно, $8(5m - 2k + 1)$ делится на 8.

По принципу математической индукции, утверждение, что $5^n + 4n - 1$ делится на 8, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.