Номер 515, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

515. Докажите, что:

a) $7^n + 9$ делится на 8 для любого нечётного натурального $n$;

б) $3^n + 7$ делится на 8 для любого чётного натурального $n$.

а)

Чтобы доказать, что выражение $7^n + 9$ делится на 8 для любого нечётного натурального $n$, воспользуемся методом сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $7^n + 9$ даёт остаток 0 при делении на 8, то есть $7^n + 9 \equiv 0 \pmod{8}$.

Рассмотрим остатки от деления на 8 для каждого слагаемого. Число 7 можно представить как $8-1$, поэтому $7 \equiv -1 \pmod{8}$. Число 9 можно представить как $8+1$, поэтому $9 \equiv 1 \pmod{8}$.

Подставим эти сравнения в исходное выражение: $7^n + 9 \equiv (-1)^n + 1 \pmod{8}$

По условию задачи, $n$ — нечётное натуральное число (например, 1, 3, 5, ...). Для любого нечётного $n$ степень $(-1)^n$ равна -1. Следовательно, выражение $(-1)^n + 1$ принимает значение $-1 + 1 = 0$.

Таким образом, мы показали, что $7^n + 9 \equiv 0 \pmod{8}$. Это означает, что $7^n + 9$ делится на 8 без остатка для любого нечётного натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $3^n + 7$ делится на 8 для любого чётного натурального $n$, также воспользуемся сравнениями по модулю 8. Нам необходимо показать, что $3^n + 7 \equiv 0 \pmod{8}$.

Поскольку $n$ — чётное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$). Тогда выражение $3^n$ можно преобразовать: $3^n = 3^{2k} = (3^2)^k = 9^k$.

Рассмотрим слагаемые по модулю 8. Так как $9 \equiv 1 \pmod{8}$, то для любого натурального $k$ справедливо $9^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{8}$. Таким образом, $3^n \equiv 1 \pmod{8}$ для любого чётного $n$. Для второго слагаемого имеем $7 \equiv -1 \pmod{8}$.

Складывая сравнения для обоих слагаемых, получаем: $3^n + 7 \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{8}$

Это означает, что $3^n + 7$ делится на 8 без остатка для любого чётного натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.