Номер 512, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

512. Задача аль-Каши (XIV–XV вв.). Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n)$

Докажем данное равенство методом математической индукции.

Обозначим сумму в левой части как $S_n = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4$. Требуется доказать, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $S_n = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n)$.

1. Базис индукции

Проверим справедливость равенства для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства: $S_1 = 1^4 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1}{30}(6 \cdot 1^5 + 15 \cdot 1^4 + 10 \cdot 1^3 - 1) = \frac{1}{30}(6 + 15 + 10 - 1) = \frac{30}{30} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, левая и правая части совпадают. Равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы считаем верным, что:

$S_k = 1^4 + 2^4 + \dots + k^4 = \frac{1}{30}(6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k)$.

3. Индукционный шаг

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для следующего натурального числа $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать:

$S_{k+1} = \frac{1}{30}(6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 10(k+1)^3 - (k+1))$.

Рассмотрим левую часть этого равенства, $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = 1^4 + 2^4 + \dots + k^4 + (k+1)^4 = S_k + (k+1)^4$.

Воспользуемся индукционным предположением для $S_k$:

$S_{k+1} = \frac{1}{30}(6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k) + (k+1)^4$.

Приведем выражение к общему знаменателю 30:

$S_{k+1} = \frac{1}{30}[ (6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k) + 30(k+1)^4 ]$.

Раскроем $(k+1)^4$ по формуле бинома Ньютона: $(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$.

Тогда $30(k+1)^4 = 30k^4 + 120k^3 + 180k^2 + 120k + 30$.

Подставим это в наше выражение для $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = \frac{1}{30}[ (6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k) + (30k^4 + 120k^3 + 180k^2 + 120k + 30) ]$.

Сгруппируем слагаемые по степеням $k$ внутри скобок:

$S_{k+1} = \frac{1}{30}[ 6k^5 + (15+30)k^4 + (10+120)k^3 + 180k^2 + (-1+120)k + 30 ]$.

$S_{k+1} = \frac{1}{30}(6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30)$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$, чтобы показать, что она равна полученному выражению.

Правая часть: $P(k+1) = \frac{1}{30}(6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 10(k+1)^3 - (k+1))$.

Раскроем степени биномов:

$6(k+1)^5 = 6(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) = 6k^5 + 30k^4 + 60k^3 + 60k^2 + 30k + 6$.

$15(k+1)^4 = 15(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) = 15k^4 + 60k^3 + 90k^2 + 60k + 15$.

$10(k+1)^3 = 10(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = 10k^3 + 30k^2 + 30k + 10$.

$-(k+1) = -k - 1$.

Сложим все полученные многочлены:

$6k^5 + (30+15)k^4 + (60+60+10)k^3 + (60+90+30)k^2 + (30+60+30-1)k + (6+15+10-1)$

$= 6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30$.

Таким образом, правая часть равна $\frac{1}{30}(6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30)$.

Мы получили, что преобразованная левая часть для $n=k+1$ совпадает с преобразованной правой частью. Следовательно, индукционный шаг доказан.

Вывод

Поскольку равенство верно для $n=1$ (базис индукции) и из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$ (индукционный шаг), то по принципу математической индукции данное равенство справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.