Номер 506, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

506. Докажите методом математической индукции, что:

а) общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$;

б) сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

а)

Докажем формулу для n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ методом математической индукции.

1. База индукции (при n=1):

Проверим, верна ли формула для $n=1$. Подставим $n=1$ в формулу:

$a_1 = a_1 \cdot q^{1-1} = a_1 \cdot q^0 = a_1 \cdot 1 = a_1$.

Равенство $a_1 = a_1$ является верным. База индукции выполняется.

2. Индукционное предположение (при n=k):

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, считаем верным равенство:

$a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$.

3. Индукционный переход (докажем для n=k+1):

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $a_{k+1} = a_1 \cdot q^{(k+1)-1} = a_1 \cdot q^k$.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$:

$a_{k+1} = a_k \cdot q$.

Теперь воспользуемся индукционным предположением, подставив в это равенство выражение для $a_k$:

$a_{k+1} = (a_1 \cdot q^{k-1}) \cdot q = a_1 \cdot q^{(k-1)+1} = a_1 \cdot q^k$.

Мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции и индукционный переход доказаны, по принципу математической индукции формула $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ методом математической индукции.

1. База индукции (при n=1):

Проверим, верна ли формула для $n=1$. Сумма первого члена $S_1$ по определению равна $a_1$. Подставим $n=1$ в формулу:

$S_1 = \frac{2a_1 + (1-1)d}{2} \cdot 1 = \frac{2a_1 + 0 \cdot d}{2} \cdot 1 = \frac{2a_1}{2} = a_1$.

Равенство $S_1 = a_1$ является верным. База индукции выполняется.

2. Индукционное предположение (при n=k):

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, считаем верным равенство:

$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$.

3. Индукционный переход (докажем для n=k+1):

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $S_{k+1} = \frac{2a_1 + ((k+1)-1)d}{2} \cdot (k+1) = \frac{2a_1 + kd}{2} \cdot (k+1)$.

Сумма первых $k+1$ членов по определению равна сумме первых $k$ членов плюс $(k+1)$-й член:

$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.

Из формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ имеем: $a_{k+1} = a_1 + (k+1-1)d = a_1 + kd$.

Подставим в выражение для $S_{k+1}$ индукционное предположение для $S_k$ и формулу для $a_{k+1}$:

$S_{k+1} = \left(\frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k\right) + (a_1 + kd)$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + (k-1)d)k + 2(a_1 + kd)}{2} = \frac{2a_1k + k^2d - kd + 2a_1 + 2kd}{2}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе и сгруппируем их:

$S_{k+1} = \frac{2a_1k + 2a_1 + k^2d + kd}{2} = \frac{2a_1(k+1) + d(k^2+k)}{2} = \frac{2a_1(k+1) + dk(k+1)}{2}$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd)(k+1)}{2}$.

Мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции и индукционный переход доказаны, по принципу математической индукции формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.