Номер 509, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

509. Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Докажем данное равенство с помощью метода математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ верно.

1. База индукции.

Проверим, выполняется ли утверждение $P(n)$ для $n=1$.

Левая часть равенства: $1^2 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Поскольку $1=1$, левая часть равна правой, следовательно, утверждение $P(1)$ истинно.

2. Индукционный переход.

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k$. Это называется индукционным предположением.

Индукционное предположение: $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Теперь докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. То есть, нам нужно доказать, что:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Мы можем сгруппировать первые $k$ слагаемых:

$(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2) + (k+1)^2$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и выполним преобразования:

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ в числителе за скобки:

$\frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.

Таким образом, левая часть равна:

$\frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$. Его корнями являются $k = -2$ и $k = -3/2$. Значит, разложение имеет вид $2(k+2)(k+3/2) = (k+2)(2k+3)$.

Подставим это разложение обратно в наше выражение:

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$, так как $\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Шаг индукции доказан. Мы показали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

Заключение.

Так как база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции равенство истинно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ доказано для всех натуральных $n$.