Номер 423, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

423. Найдите наименьший член последовательности, заданной формулой общего члена:

а) $a_n = n^2 - 19.8n + 113;$

б) $a_n = n^2 - 22.2n + 126.$

а) $a_n = n^2 - 19,8n + 113$

Формула общего члена последовательности $a_n$ является квадратичной функцией от $n$. Графиком функции $y(n) = n^2 - 19,8n + 113$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$).

Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы $n_0$ по формуле $n_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае коэффициенты равны $a = 1$ и $b = -19,8$.

$n_0 = -\frac{-19,8}{2 \cdot 1} = \frac{19,8}{2} = 9,9$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), наименьший член последовательности будет соответствовать одному из двух натуральных чисел, ближайших к $n_0 = 9,9$. Это числа $n=9$ и $n=10$.

Найдем значения членов последовательности для этих номеров:

При $n=9$:

$a_9 = 9^2 - 19,8 \cdot 9 + 113 = 81 - 178,2 + 113 = 194 - 178,2 = 15,8$.

При $n=10$:

$a_{10} = 10^2 - 19,8 \cdot 10 + 113 = 100 - 198 + 113 = 213 - 198 = 15$.

Сравнивая полученные значения $a_9 = 15,8$ и $a_{10} = 15$, видим, что $15 < 15,8$. Следовательно, наименьший член последовательности равен 15.

Ответ: 15.

б) $a_n = n^2 - 22,2n + 126$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим квадратичную функцию $y(n) = n^2 - 22,2n + 126$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы $n_0$:

$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-22,2}{2 \cdot 1} = \frac{22,2}{2} = 11,1$.

Номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом. Ближайшие натуральные числа к $n_0 = 11,1$ — это $n=11$ и $n=12$.

Вычислим значения членов последовательности для этих номеров:

При $n=11$:

$a_{11} = 11^2 - 22,2 \cdot 11 + 126 = 121 - 244,2 + 126 = 247 - 244,2 = 2,8$.

При $n=12$:

$a_{12} = 12^2 - 22,2 \cdot 12 + 126 = 144 - 266,4 + 126 = 270 - 266,4 = 3,6$.

Сравнивая полученные значения $a_{11} = 2,8$ и $a_{12} = 3,6$, получаем $2,8 < 3,6$. Таким образом, наименьший член последовательности равен 2,8.

Ответ: 2,8.