Номер 426, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

426. Доказываем. Докажите, что для любых натуральных $n$ последовательность чисел Фибоначчи ${u_n}$ обладает свойством:

а) $u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_{n+2} - 1;$

б) $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n};$

в) $u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{2n} = u_{2n+1} - 1;$

г) $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}.$

Обозначим последовательность чисел Фибоначчи через $\{u_n\}$, где $u_1 = 1$, $u_2 = 1$ и для любого натурального $n \ge 1$ выполняется рекуррентное соотношение $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Первые члены последовательности: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$.

а) Докажем тождество $u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_{n+2} - 1$.

Из основного рекуррентного соотношения $u_{k+2} = u_{k+1} + u_k$ следует, что $u_k = u_{k+2} - u_{k+1}$ для любого $k \ge 1$.

Запишем каждый член суммы $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$, используя это соотношение:

$u_1 = u_3 - u_2$

$u_2 = u_4 - u_3$

$u_3 = u_5 - u_4$

...

$u_{n-1} = u_{n+1} - u_n$

$u_n = u_{n+2} - u_{n+1}$

Просуммируем левые и правые части этих равенств. Слева получим искомую сумму $S_n$. Справа получим телескопическую сумму:

$S_n = (u_3 - u_2) + (u_4 - u_3) + (u_5 - u_4) + \dots + (u_{n+1} - u_n) + (u_{n+2} - u_{n+1})$

Сгруппировав слагаемые, увидим, что большинство из них взаимно уничтожаются:

$S_n = -u_2 + (u_3 - u_3) + (u_4 - u_4) + \dots + (u_{n+1} - u_{n+1}) + u_{n+2}$

$S_n = u_{n+2} - u_2$

Поскольку $u_2 = 1$, окончательно получаем:

$u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_{n+2} - 1$

Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем тождество $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$.

Из основного рекуррентного соотношения $u_{k} = u_{k-1} + u_{k-2}$ следует, что $u_{k-1} = u_k - u_{k-2}$ для $k \ge 3$. Заменим индекс $k$ на $2i$. Тогда $u_{2i-1} = u_{2i} - u_{2i-2}$ для $2i \ge 3$, то есть для $i \ge 2$.

Рассмотрим сумму $S_n = u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1}$.

Так как $u_1 = 1$ и $u_2 = 1$, мы можем записать $u_1 = u_2$.

$S_n = u_2 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1}$

Теперь представим каждый член суммы, начиная с $u_3$, используя выведенную формулу:

$u_3 = u_4 - u_2$

$u_5 = u_6 - u_4$

...

$u_{2n-1} = u_{2n} - u_{2n-2}$

Подставим эти выражения в сумму:

$S_n = u_2 + (u_4 - u_2) + (u_6 - u_4) + \dots + (u_{2n} - u_{2n-2})$

Это телескопическая сумма, в которой почти все члены сокращаются:

$S_n = (u_2 - u_2) + (u_4 - u_4) + \dots + (u_{2n-2} - u_{2n-2}) + u_{2n}$

$S_n = u_{2n}$

Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

в) Докажем тождество $u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{2n} = u_{2n+1} - 1$.

Из основного рекуррентного соотношения $u_{k+1} = u_k + u_{k-1}$ следует, что $u_k = u_{k+1} - u_{k-1}$ для $k \ge 2$. Заменим индекс $k$ на $2i$. Тогда $u_{2i} = u_{2i+1} - u_{2i-1}$ для $2i \ge 2$, то есть для $i \ge 1$.

Рассмотрим сумму $S_n = u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{2n}$.

Представим каждый член суммы, используя выведенную формулу:

$u_2 = u_3 - u_1$

$u_4 = u_5 - u_3$

$u_6 = u_7 - u_5$

...

$u_{2n} = u_{2n+1} - u_{2n-1}$

Просуммировав эти равенства, получим телескопическую сумму:

$S_n = (u_3 - u_1) + (u_5 - u_3) + (u_7 - u_5) + \dots + (u_{2n+1} - u_{2n-1})$

После сокращения промежуточных членов получаем:

$S_n = -u_1 + (u_3 - u_3) + (u_5 - u_5) + \dots + (u_{2n-1} - u_{2n-1}) + u_{2n+1}$

$S_n = u_{2n+1} - u_1$

Так как $u_1 = 1$, окончательно имеем:

$u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{2n} = u_{2n+1} - 1$

Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

г) Докажем тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ методом математической индукции.

База индукции:

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $u_1^2 = 1^2 = 1$.

Правая часть: $u_1 \cdot u_{1+1} = u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1$.

Так как $1=1$, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть:

$\sum_{i=1}^{k} u_i^2 = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 = u_k \cdot u_{k+1}$

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть:

$\sum_{i=1}^{k+1} u_i^2 = u_{k+1} \cdot u_{(k+1)+1} = u_{k+1} \cdot u_{k+2}$

Рассмотрим сумму для $n=k+1$:

$\sum_{i=1}^{k+1} u_i^2 = (u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2) + u_{k+1}^2 = (\sum_{i=1}^{k} u_i^2) + u_{k+1}^2$

Используя индукционное предположение, заменяем сумму квадратов первых $k$ членов:

$(u_k \cdot u_{k+1}) + u_{k+1}^2$

Вынесем общий множитель $u_{k+1}$ за скобки:

$u_{k+1} \cdot (u_k + u_{k+1})$

Согласно определению чисел Фибоначчи, $u_k + u_{k+1} = u_{k+2}$.

Следовательно, $u_{k+1} \cdot (u_k + u_{k+1}) = u_{k+1} \cdot u_{k+2}$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, тождество доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Доказано.