Номер 432, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

432. Верно ли, что всякая возрастающая последовательность ограничена снизу, а всякая убывающая последовательность ограничена сверху?

Данное утверждение состоит из двух частей. Проверим истинность каждой из них.

Всякая возрастающая последовательность ограничена снизу

Пусть дана произвольная возрастающая последовательность $(a_n)$. Согласно определению возрастающей последовательности, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$.

Это значит, что каждый следующий член последовательности не меньше предыдущего. Следовательно, мы можем записать цепочку неравенств: $a_n \ge a_{n-1} \ge a_{n-2} \ge \dots \ge a_2 \ge a_1$.

Из этой цепочки видно, что любой член последовательности $(a_n)$ с номером $n$ будет больше или равен первому члену $a_1$. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \ge a_1$.

По определению, последовательность ограничена снизу, если существует такое число $M$, что для всех ее членов выполняется неравенство $a_n \ge M$. В нашем случае таким числом является $a_1$. Следовательно, любая возрастающая последовательность ограничена снизу своим первым членом. Первая часть утверждения верна.

Всякая убывающая последовательность ограничена сверху

Теперь пусть дана произвольная убывающая последовательность $(b_n)$. Согласно определению убывающей последовательности, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} \le b_n$.

Это значит, что каждый следующий член последовательности не больше предыдущего. Следовательно, мы можем записать цепочку неравенств: $b_n \le b_{n-1} \le b_{n-2} \le \dots \le b_2 \le b_1$.

Из этой цепочки видно, что любой член последовательности $(b_n)$ с номером $n$ будет меньше или равен первому члену $b_1$. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $b_n \le b_1$.

По определению, последовательность ограничена сверху, если существует такое число $K$, что для всех ее членов выполняется неравенство $b_n \le K$. В нашем случае таким числом является $b_1$. Следовательно, любая убывающая последовательность ограничена сверху своим первым членом. Вторая часть утверждения также верна.

Поскольку обе части утверждения верны, то и все утверждение в целом является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.