Номер 437, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

437. Последовательность задана формулой n-го члена:

a) $a_n = \frac{3n+5}{2n-1}$;

б) $b_n = \frac{2n+1}{3n-5}$;

в) $x_n = \frac{3n-5}{2n-1}$;

г) $y_n = \frac{2n+1}{3n+5}$.

Является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной?

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей (монотонной), а также ограниченной, мы исследуем каждую из заданных последовательностей.

Последовательность $u_n$ называется возрастающей, если для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $u_{n+1} > u_n$.

Последовательность $u_n$ называется убывающей, если для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $u_{n+1} < u_n$.

Последовательность $u_n$ называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $m \le u_n \le M$.

Для исследования монотонности удобно рассмотреть соответствующую функцию $f(x)$ и найти ее производную. Если $f'(x) > 0$ на рассматриваемом промежутке, функция (и последовательность) возрастает. Если $f'(x) < 0$, функция (и последовательность) убывает.

а) $a_n = \frac{3n + 5}{2n - 1}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x + 5}{2x - 1}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(3x + 5)'(2x - 1) - (3x + 5)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} = \frac{3(2x - 1) - (3x + 5) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x - 10}{(2x - 1)^2} = \frac{-13}{(2x - 1)^2}$.

Так как знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен -13 (отрицателен), то $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является убывающей. Это означает, что последовательность $a_n$ также является убывающей, т.е. $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность убывающая, ее первый член будет наибольшим. Найдем $a_1$:
$a_1 = \frac{3(1) + 5}{2(1) - 1} = \frac{8}{1} = 8$.
Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 8 ($a_n \le 8$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения нижней границы:
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + 5/n}{2 - 1/n} = \frac{3}{2}$.
Поскольку последовательность убывает, она ограничена снизу своим пределом. Все члены последовательности больше $3/2$ ($a_n > \frac{3}{2}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($ \frac{3}{2} < a_n \le 8 $), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является убывающей и ограниченной.

б) $b_n = \frac{2n + 1}{3n - 5}$

1. Монотонность.

Вычислим первые несколько членов последовательности:
$b_1 = \frac{2(1) + 1}{3(1) - 5} = \frac{3}{-2} = -1.5$
$b_2 = \frac{2(2) + 1}{3(2) - 5} = \frac{5}{1} = 5$
$b_3 = \frac{2(3) + 1}{3(3) - 5} = \frac{7}{4} = 1.75$
Поскольку $b_1 < b_2$ и $b_2 > b_3$, последовательность не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей). Знаменатель $3n-5$ меняет знак между $n=1$ и $n=2$.

2. Ограниченность.

Исследуем поведение последовательности для $n \ge 2$. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 5}$. Ее производная:
$f'(x) = \frac{2(3x - 5) - (2x + 1) \cdot 3}{(3x - 5)^2} = \frac{6x - 10 - 6x - 3}{(3x - 5)^2} = \frac{-13}{(3x - 5)^2}$.
Для $n \ge 2$, знаменатель $(3n-5)^2$ положителен, поэтому производная отрицательна. Значит, для $n \ge 2$ последовательность убывает. Ее наибольшее значение в этом диапазоне — $b_2 = 5$. Так как $b_1 = -1.5$, то 5 является наибольшим значением для всей последовательности. Следовательно, последовательность ограничена сверху ($b_n \le 5$).

Найдем предел последовательности:
$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1/n}{3 - 5/n} = \frac{2}{3}$.
Для $n \ge 2$ последовательность убывает к $2/3$, значит все ее члены (кроме $b_1$) больше $2/3$. Самый маленький член последовательности — это $b_1 = -1.5$. Таким образом, последовательность ограничена снизу ($b_n \ge -1.5$).
Так как последовательность ограничена и сверху, и снизу ($-1.5 \le b_n \le 5$), она является ограниченной.

Ответ: последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; последовательность является ограниченной.

в) $x_n = \frac{3n - 5}{2n - 1}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x - 5}{2x - 1}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(3x - 5)'(2x - 1) - (3x - 5)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} = \frac{3(2x - 1) - (3x - 5) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x + 10}{(2x - 1)^2} = \frac{7}{(2x - 1)^2}$.

Так как знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен 7 (положителен), то $f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что последовательность $x_n$ также является возрастающей, т.е. $x_{n+1} > x_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность возрастающая, ее первый член будет наименьшим. Найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{3(1) - 5}{2(1) - 1} = \frac{-2}{1} = -2$.
Таким образом, последовательность ограничена снизу числом -2 ($x_n \ge -2$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения верхней границы:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 5/n}{2 - 1/n} = \frac{3}{2}$.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше $3/2$ ($x_n < \frac{3}{2}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($-2 \le x_n < \frac{3}{2}$), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей и ограниченной.

г) $y_n = \frac{2n + 1}{3n + 5}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x + 1}{3x + 5}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(2x + 1)'(3x + 5) - (2x + 1)(3x + 5)'}{(3x + 5)^2} = \frac{2(3x + 5) - (2x + 1) \cdot 3}{(3x + 5)^2} = \frac{6x + 10 - 6x - 3}{(3x + 5)^2} = \frac{7}{(3x + 5)^2}$.

Так как знаменатель $(3x + 5)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен 7 (положителен), то $f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что последовательность $y_n$ также является возрастающей, т.е. $y_{n+1} > y_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность возрастающая, ее первый член будет наименьшим. Найдем $y_1$:
$y_1 = \frac{2(1) + 1}{3(1) + 5} = \frac{3}{8}$.
Таким образом, последовательность ограничена снизу числом $3/8$ ($y_n \ge \frac{3}{8}$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения верхней границы:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1/n}{3 + 5/n} = \frac{2}{3}$.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше $2/3$ ($y_n < \frac{2}{3}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($\frac{3}{8} \le y_n < \frac{2}{3}$), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей и ограниченной.