Номер 438, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

438. Укажите все значения $b$, при которых последовательность, за- данная формулой $a_n = \frac{1999n + b}{2000n}$, является:

а) возрастающей;

б) убывающей.

Для того чтобы определить, при каких значениях $b$ последовательность является возрастающей или убывающей, нужно исследовать знак разности ее соседних членов $a_{n+1} - a_n$.

Заданная последовательность имеет общий член $a_n = \frac{1999n + b}{2000n}$. Преобразуем это выражение: $a_n = \frac{1999n}{2000n} + \frac{b}{2000n} = \frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000n}$.

Теперь запишем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000(n+1)}$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000(n+1)}\right) - \left(\frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000n}\right)$ $a_{n+1} - a_n = \frac{b}{2000(n+1)} - \frac{b}{2000n}$

Вынесем общий множитель за скобки и приведем к общему знаменателю: $a_{n+1} - a_n = \frac{b}{2000} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \right) = \frac{b}{2000} \left( \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} \right) = \frac{b}{2000} \left( \frac{-1}{n(n+1)} \right)$ $a_{n+1} - a_n = -\frac{b}{2000n(n+1)}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2000n(n+1)$ в знаменателе всегда положительно. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя $-b$.

а) возрастающей

Последовательность является возрастающей, если $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$. Это эквивалентно условию $a_{n+1} - a_n > 0$. $-\frac{b}{2000n(n+1)} > 0$

Так как знаменатель положителен, неравенство сводится к следующему: $-b > 0$

Умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства), получим: $b < 0$

Ответ: $b < 0$.

б) убывающей

Последовательность является убывающей, если $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$. Это эквивалентно условию $a_{n+1} - a_n < 0$. $-\frac{b}{2000n(n+1)} < 0$

Так как знаменатель положителен, неравенство сводится к следующему: $-b < 0$

Умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства), получим: $b > 0$

Ответ: $b > 0$.