Номер 344, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

344. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x};$

б) $y = -\sqrt{x};$

в) $y = \sqrt{-x};$

г) $y = -\sqrt{-x};$

д) $y = \sqrt{|x|};$

е) $y = \sqrt[3]{x}, x \ge 0;$

ж) $y = \sqrt[3]{|x|};$

з) $y = \sqrt[4]{x};$

и) $y = \sqrt[4]{-x};$

к) $y = \sqrt[4]{|x|}.$

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.
Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$; точка $(4,2)$.
- если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$; точка $(9,3)$.
Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график функции. Он представляет собой ветвь параболы, которая является верхней половиной параболы $x=y^2$. График расположен в I координатной четверти.
Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$ и расположенную в первой координатной четверти.

б) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x}$.
Область определения: как и для $y = \sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Таким образом, $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси Ox.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=-\sqrt{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=-\sqrt{1}=-1$; точка $(1,-1)$.
- если $x=4$, то $y=-\sqrt{4}=-2$; точка $(4,-2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную в IV координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной в четвертой координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Ox.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x}$.
Область определения: подкоренное выражение $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: значение арифметического квадратного корня неотрицательно, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси Oy.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{-0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=\sqrt{-(-1)}=\sqrt{1}=1$; точка $(-1,1)$.
- если $x=-4$, то $y=\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2$; точка $(-4,2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную во II координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной во второй координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy.

г) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{-x}$.
Область определения: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: $\sqrt{-x} \ge 0$, следовательно $-\sqrt{-x} \le 0$, то есть $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) симметричным отражением относительно начала координат. Это также можно получить, отразив график $y = \sqrt{-x}$ (из пункта в)) относительно оси Ox.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=-\sqrt{-0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=-\sqrt{-(-1)}=-1$; точка $(-1,-1)$.
- если $x=-4$, то $y=-\sqrt{-(-4)}=-2$; точка $(-4,-2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную в III координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной в третьей координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно начала координат.

д) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{|x|}$.
Область определения: выражение $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$. Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$, так как корень арифметический. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
Построение графика можно осуществить, раскрыв модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график из пункта а).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{-x}$. Это график из пункта в).
Таким образом, для построения графика нужно объединить графики функций $y=\sqrt{x}$ (для $x \ge 0$) и $y=\sqrt{-x}$ (для $x < 0$).
Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях.

е) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x}$ при условии $x \ge 0$.
Область определения: задана условием $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: если $x \ge 0$, то и $\sqrt[3]{x} \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[3]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt[3]{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=8$, то $y=\sqrt[3]{8}=2$; точка $(8,2)$.
График представляет собой ветвь кубической параболы $x=y^3$, расположенную в I координатной четверти.
Ответ: График — ветвь кубической параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.

ж) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{|x|}$.
Область определения: $|x|$ определен для любого действительного $x$, и кубический корень также определен для любого неотрицательного числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: поскольку $|x| \ge 0$, то $\sqrt[3]{|x|} \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
Раскроем модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[3]{x}$.
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[3]{-x}$.
График $y=\sqrt[3]{-x}$ для $x<0$ является зеркальным отражением графика $y=\sqrt[3]{x}$ для $x>0$ относительно оси Oy. График состоит из ветви $y = \sqrt[3]{x}$ в первой четверти и ее отражения во второй четверти.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветвь в первой четверти — это график $y=\sqrt[3]{x}$.

з) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x}$.
Область определения: корень четной (4-й) степени определен для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: значение корня четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты ключевых точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[4]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt[4]{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=16$, то $y=\sqrt[4]{16}=2$; точка $(16,2)$.
График похож на график $y=\sqrt{x}$, но при $x>1$ он "прижимается" к оси Ox сильнее, то есть растет медленнее. График расположен в I координатной четверти.
Ответ: График функции — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и возрастающая медленнее, чем $y=\sqrt{x}$.

и) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{-x}$.
Область определения: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ (из пункта з)) путем симметричного отражения относительно оси Oy.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[4]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=\sqrt[4]{-(-1)}=1$; точка $(-1,1)$.
- если $x=-16$, то $y=\sqrt[4]{-(-16)}=2$; точка $(-16,2)$.
График расположен во II координатной четверти.
Ответ: График функции — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная во второй координатной четверти и симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.

к) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{|x|}$.
Область определения: $|x| \ge 0$ для любого $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
Раскроем модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{x}$. Это график из пункта з).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{-x}$. Это график из пункта и).
График состоит из объединения графиков $y=\sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$ и $y=\sqrt[4]{-x}$ для $x < 0$.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветвь в первой четверти — это график $y=\sqrt[4]{x}$.