Номер 342, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

342. Каким может быть натуральное число n ($n \geq 2$), если:

а) $\sqrt[n]{16} \leq 4$;

б) $\sqrt[n]{16} > 4$?

а) $\sqrt[n]{16} \le 4$

Требуется найти все натуральные числа $n \ge 2$, для которых выполняется неравенство $\sqrt[n]{16} \le 4$.

Для решения преобразуем неравенство. Представим корень n-ой степени в виде степени с рациональным показателем $1/n$: $16^{1/n} \le 4$

Теперь приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$. Подставим это в неравенство: $(4^2)^{1/n} \le 4^1$

Используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{bc}$, упростим выражение в левой части: $4^{2/n} \le 4^1$

Так как основание степени $4$ больше единицы ($4 > 1$), то для показателей степеней будет выполняться неравенство с тем же знаком: $\frac{2}{n} \le 1$

По условию задачи, $n$ — натуральное число и $n \ge 2$, следовательно, $n$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части неравенства на $n$, сохранив знак неравенства: $2 \le n$

Итак, мы получили, что неравенство выполняется при $n \ge 2$. Это полностью совпадает с данным в задаче условием на $n$. Таким образом, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, которые больше или равны 2.

Ответ: $n$ может быть любым натуральным числом, удовлетворяющим условию $n \ge 2$.

б) $\sqrt[n]{16} > 4$

Требуется найти все натуральные числа $n \ge 2$, для которых выполняется неравенство $\sqrt[n]{16} > 4$.

Выполним те же преобразования, что и в пункте а): $16^{1/n} > 4$ $(4^2)^{1/n} > 4^1$ $4^{2/n} > 4^1$

Поскольку основание степени $4$ больше единицы ($4 > 1$), то для показателей степеней будет выполняться неравенство с тем же знаком: $\frac{2}{n} > 1$

Умножим обе части на $n$. Так как $n \ge 2$, то $n$ — положительное число, и знак неравенства не изменится: $2 > n$ или $n < 2$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $n$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:

1. $n \ge 2$ (по условию задачи)
2. $n < 2$ (из решения неравенства)

Не существует натуральных чисел, которые были бы одновременно больше или равны 2 и строго меньше 2. Данная система условий не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: таких натуральных чисел $n$, удовлетворяющих условию $n \ge 2$, не существует.