Номер 233, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

233. Дана функция $y = x^{12}$. Сравните:

a) $y(1)$ и $y(2)$;

б) $y(-2)$ и $y(-1)$;

в) $y(-3)$ и $y(3)$;

г) $y(0)$ и $y(5)$.

Для решения задачи проанализируем свойства данной функции $y = x^{12}$.

• Четность функции. Показатель степени 12 — четное число. Это означает, что функция является четной, то есть $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$ для любого значения $x$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Промежутки монотонности. Степенная функция с четным натуральным показателем убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

а) Сравниваем $y(1)$ и $y(2)$.

Аргументы $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Так как $1 < 2$, то и значения функции в этих точках находятся в том же соотношении: $y(1) < y(2)$.

Для проверки можно вычислить значения: $y(1) = 1^{12} = 1$ и $y(2) = 2^{12} = 4096$. Действительно, $1 < 4096$.

Ответ: $y(1) < y(2)$.

б) Сравниваем $y(-2)$ и $y(-1)$.

Аргументы $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0]$, на котором функция убывает. Так как $-2 < -1$, то для убывающей функции значения будут находиться в обратном соотношении: $y(-2) > y(-1)$.

Проверим вычислением: $y(-2) = (-2)^{12} = 2^{12} = 4096$ и $y(-1) = (-1)^{12} = 1^{12} = 1$. Действительно, $4096 > 1$.

Ответ: $y(-2) > y(-1)$.

в) Сравниваем $y(-3)$ и $y(3)$.

Так как функция $y = x^{12}$ является четной, то по определению для любого $x$ выполняется $y(-x) = y(x)$. При $x=3$ получаем равенство $y(-3) = y(3)$.

Ответ: $y(-3) = y(3)$.

г) Сравниваем $y(0)$ и $y(5)$.

Аргументы $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Поскольку $0 < 5$, то и $y(0) < y(5)$.

Проверим вычислением: $y(0) = 0^{12} = 0$ и $y(5) = 5^{12}$. Так как $5^{12}$ — большое положительное число, очевидно, что $0 < 5^{12}$.

Ответ: $y(0) < y(5)$.