Номер 224, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

224. Дана функция $y = x^4$. Исследуйте эту функцию по схеме предыдущего задания и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $y = x^4$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция $y = x^4$ является степенной функцией с натуральным показателем, которая определена для всех действительных чисел. Ограничений на значения $x$ нет.

Ответ: область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:

$y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Функция не является периодической, так как не существует такого числа $T \ne 0$, чтобы $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$.

Ответ: функция четная, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, положим $x=0$:

$y = 0^4 = 0$.

Таким образом, график пересекает ось OY в точке $(0, 0)$.
Чтобы найти точки пересечения с осью OX, положим $y=0$:

$x^4 = 0 \implies x = 0$.

График пересекает ось OX также в точке $(0, 0)$. Это единственная точка пересечения с осями.

Ответ: точка пересечения с осями координат — $(0, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Определим, на каких интервалах функция принимает положительные или отрицательные значения.
$y > 0 \implies x^4 > 0$. Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
$y < 0 \implies x^4 < 0$. Это неравенство не имеет решений в действительных числах.
Функция неотрицательна на всей области определения.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы

Найдем первую производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:
$y' = (x^4)' = 4x^3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x=0$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось:
- на интервале $(-\infty; 0)$, производная $y' < 0$ (например, $y'(-1) = -4$), значит, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
- на интервале $(0; +\infty)$, производная $y' > 0$ (например, $y'(1) = 4$), значит, функция возрастает на $[0; +\infty)$.
Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой локального минимума.
Значение функции в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума (и глобального минимума).

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную для определения выпуклости графика:
$y'' = (4x^3)' = 12x^2$.
Определим знак второй производной: $y'' = 12x^2 \ge 0$ для всех $x \in D(y)$.
Так как вторая производная неотрицательна на всей области определения, график функции является вогнутым (или выпуклым вниз) на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Точек перегиба нет, так как знак второй производной не изменяется (она равна нулю только в одной точке $x=0$, но не меняет знак).

Ответ: график функции вогнутый на всей области определения, точек перегиба нет.

7. Асимптоты

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальных асимптот у нее нет.
Проверим наличие горизонтальных асимптот, найдя пределы на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} x^4 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$
Так как пределы не являются конечными числами, горизонтальных асимптот нет.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx+b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^3 = \pm\infty$.
Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонных асимптот также нет.

Ответ: асимптот у графика функции нет.

8. Построение графика

Сведем полученные данные воедино. График симметричен относительно оси OY, проходит через начало координат, где имеет точку минимума $(0, 0)$. Функция убывает слева от нуля и возрастает справа. Ветви графика направлены вверх. График всюду вогнутый (выпуклый вниз).
Для более точного построения вычислим значения функции в нескольких точках:

График функции $y=x^4$ напоминает параболу $y=x^2$, однако он более "плоский" вблизи нуля (на интервале $(-1, 1)$) и растет значительно быстрее при $|x|>1$.

Ответ: график функции построен на основе проведенного исследования.