Номер 185, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите неравенство (185—188), где a, b, c — действительные числа:

185. а) $4c^2 + 1 \ge 4c$;

б) $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$ ($a + b \ge 0$);

в) $(a + b)^2 \ge 4ab$;

г) $a + \frac{1}{a} \le -2$ ($a < 0$);

д) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ ($a \ne 0$);

е) $\frac{2a}{a^2 + 1} \le 1$;

ж) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ ($ab > 0$);

з) $\frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{25} \ge \frac{6}{5}$ ($a \ne 0$).

а) Перенесем член $4c$ из правой части неравенства в левую с противоположным знаком, чтобы сравнить выражение с нулем: $4c^2 - 4c + 1 \geq 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности, согласно формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=2c$ и $y=1$. Таким образом, неравенство принимает вид $(2c - 1)^2 \geq 0$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю), это неравенство справедливо для любого действительного числа $c$.
Ответ:

б) Перенесем все члены из правой части в левую: $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 \geq 0$. Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2) \geq 0$. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $a^2(a - b) - b^2(a - b) \geq 0$. Теперь вынесем за скобку общий множитель $(a - b)$: $(a^2 - b^2)(a - b) \geq 0$. Разложим разность квадратов $a^2 - b^2$ на множители: $(a - b)(a + b)(a - b) \geq 0$. Это равносильно неравенству $(a - b)^2(a + b) \geq 0$. Множитель $(a - b)^2$ всегда неотрицателен, так как это квадрат действительного числа. Множитель $(a + b)$ неотрицателен по условию задачи ($a + b \geq 0$). Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно, поэтому неравенство доказано.
Ответ:

в) Раскроем квадрат суммы в левой части неравенства: $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$. Перенесем $4ab$ в левую часть: $a^2 + 2ab - 4ab + b^2 \geq 0$. Приведем подобные слагаемые: $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$. Левая часть является полным квадратом разности: $(a - b)^2 \geq 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.
Ответ:

г) Поскольку по условию $a < 0$, преобразуем неравенство, не умножая на $a$, чтобы избежать смены знака. Перенесем $-2$ в левую часть: $a + \frac{1}{a} + 2 \leq 0$. Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $a$: $\frac{a^2 + 1 + 2a}{a} \leq 0$. Числитель дроби является полным квадратом суммы: $\frac{(a+1)^2}{a} \leq 0$. Числитель $(a+1)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицателен ($\geq 0$). Знаменатель $a$ по условию отрицателен ($< 0$). Частное от деления неотрицательного числа на отрицательное всегда является неположительным (меньше или равно 0). Следовательно, неравенство доказано для всех $a < 0$.
Ответ:

д) Перенесем 2 в левую часть неравенства: $a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \geq 0$. Заметим, что $2 = 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$. Тогда левую часть можно записать в виде $a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 \geq 0$. Это выражение является полным квадратом разности: $(a - \frac{1}{a})^2 \geq 0$. Поскольку $a \neq 0$, выражение $a - \frac{1}{a}$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Таким образом, неравенство доказано.
Ответ:

е) Знаменатель дроби $a^2 + 1$ всегда строго положителен для любого действительного $a$, так как $a^2 \geq 0$ и, следовательно, $a^2 + 1 \geq 1$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a^2 + 1$, сохранив знак неравенства: $2a \leq a^2 + 1$. Перенесем $2a$ в правую часть: $0 \leq a^2 - 2a + 1$. Выражение в правой части является полным квадратом разности: $0 \leq (a-1)^2$. Это неравенство справедливо для любого действительного $a$, так как квадрат числа всегда неотрицателен.
Ответ:

ж) Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные) и не равны нулю. Приведем левую часть к общему знаменателю $ab$: $\frac{a^2 + b^2}{ab} \geq 2$. Так как по условию $ab > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $ab$, не меняя знака: $a^2 + b^2 \geq 2ab$. Перенесем $2ab$ в левую часть: $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$. Левая часть является полным квадратом разности: $(a - b)^2 \geq 0$. Это неравенство верно для любых $a$ и $b$, так как квадрат действительного числа всегда неотрицателен.
Ответ:

з) Перенесем $\frac{6}{5}$ в левую часть неравенства: $\frac{9}{a^2} - \frac{6}{5} + \frac{a^2}{25} \geq 0$. Представим члены в левой части как квадраты и удвоенное произведение: $(\frac{3}{a})^2 - 2 \cdot \frac{3}{a} \cdot \frac{a}{5} + (\frac{a}{5})^2 \geq 0$. Действительно, $2 \cdot \frac{3}{a} \cdot \frac{a}{5} = \frac{6}{5}$. Таким образом, левая часть является полным квадратом разности: $(\frac{3}{a} - \frac{a}{5})^2 \geq 0$. Так как $a \neq 0$, выражение в скобках является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство доказано.
Ответ: