Номер 163, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

163. a) $\begin{cases} (x - 2)(x - 3) > 0, \\ \frac{x + 2}{(x - 4)(x + 4)} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 2)(x + 10) < 0, \\ \frac{x - 3}{(x + 4)(x + 7)} < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ \frac{x + 7}{x - 3} < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x + 3}{x - 4} < 0, \\ \frac{x + 8}{x - 7} > 0. \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $(x-2)(x-3) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-3) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=(x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+2}{(x-4)(x+4)} > 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x = -2$. Нули знаменателя: $x = 4$ и $x = -4$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 4)$ и $(4, \infty)$. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что выражение положительно на интервалах $(-4, -2)$ и $(4, \infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-4, -2) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty, 2) \cup (3, \infty)) \cap ((-4, -2) \cup (4, \infty))$

Пересечением является множество $(-4, -2) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (4, \infty)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $(x+2)(x+10) < 0$.

Корни уравнения $(x+2)(x+10) = 0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=-10$. Парабола $y=(x+2)(x+10)$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-10, -2)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-3}{(x+4)(x+7)} < 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=3$. Нули знаменателя: $x=-4$ и $x=-7$. Отметим точки на числовой оси: $-7, -4, 3$. Они разбивают прямую на интервалы. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что выражение отрицательно на интервалах $(-\infty, -7)$ и $(-4, 3)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (-4, 3)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-10, -2) \cap ((-\infty, -7) \cup (-4, 3))$

Пересекая интервал $(-10, -2)$ с объединением $(-\infty, -7) \cup (-4, 3)$, получаем два интервала: $(-10, -7)$ и $(-4, -2)$.

Ответ: $x \in (-10, -7) \cup (-4, -2)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{x-5}{x+3} > 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=5$. Нуль знаменателя: $x=-3$. Выражение положительно, когда числитель и знаменатель одного знака. Это происходит при $x > 5$ или при $x < -3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+7}{x-3} < 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=-7$. Нуль знаменателя: $x=3$. Выражение отрицательно, когда числитель и знаменатель разных знаков. Это происходит при $-7 < x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-7, 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty, -3) \cup (5, \infty)) \cap (-7, 3)$

Пересечение множества $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ с интервалом $(-7, 3)$ дает интервал $(-7, -3)$.

Ответ: $x \in (-7, -3)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{x+3}{x-4} < 0$.

Методом интервалов. Нули: $x=-3$ и $x=4$. Выражение отрицательно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, 4)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+8}{x-7} > 0$.

Методом интервалов. Нули: $x=-8$ и $x=7$. Выражение положительно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-3, 4) \cap ((-\infty, -8) \cup (7, \infty))$

Интервал $(-3, 4)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -8) \cup (7, \infty)$. Пересечение является пустым множеством, $\emptyset$.

Ответ: решений нет