Номер 158, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

158. Является ли какое-нибудь из чисел: $-1, 1, 0, 2 -$ решением системы неравенств:

а) $\begin{cases} (x-3)^2 > 0, \\ (x-2)(x-5) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+4)(x-4) > 0, \\ (x+5)^2 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0, \\ \frac{1}{x-4} < 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x+4}{x} > 5, \\ x^2 - 6x - 8 < 0? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число решением системы неравенств, нужно подставить это число в каждое неравенство системы. Если все неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то число является решением системы. Если хотя бы одно неравенство оказывается неверным, то число не является решением.

а) $\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ (x - 2)(x - 5) < 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $(-1 - 3)^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  $(-1 - 2)(-1 - 5) = (-3)(-6) = 18$. Неравенство $18 < 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 0$ верно.
  $(1 - 2)(1 - 5) = (-1)(-4) = 4$. Неравенство $4 < 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  $(0 - 3)^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  $(0 - 2)(0 - 5) = (-2)(-5) = 10$. Неравенство $10 < 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 0$ верно.
  $(2 - 2)(2 - 5) = 0 \cdot (-3) = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.

б) $\begin{cases} (x + 4)(x - 4) > 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел. Для того чтобы число было решением, оно должно удовлетворять обоим неравенствам. Проверим первое неравенство, так как оно более строгое.

• При $x = -1$:
  $(-1 + 4)(-1 - 4) = 3 \cdot (-5) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением.
• При $x = 1$:
  $(1 + 4)(1 - 4) = 5 \cdot (-3) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением.
• При $x = 0$:
  $(0 + 4)(0 - 4) = 4 \cdot (-4) = -16$. Неравенство $-16 > 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением.
• При $x = 2$:
  $(2 + 4)(2 - 4) = 6 \cdot (-2) = -12$. Неравенство $-12 > 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x - 4} < 2 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $(-1)^2 - 3(-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  $\frac{1}{-1 - 4} = \frac{1}{-5} = -0.2$. Неравенство $-0.2 < 2$ верно.
  Число $-1$ является решением системы.
• При $x = 1$:
  $1^2 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$. Неравенство $3 > 0$ верно.
  $\frac{1}{1 - 4} = \frac{1}{-3}$. Неравенство $-\frac{1}{3} < 2$ верно.
  Число $1$ является решением системы.
• При $x = 0$:
  $0^2 - 3(0) + 5 = 5$. Неравенство $5 > 0$ верно.
  $\frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$. Неравенство $-\frac{1}{4} < 2$ верно.
  Число $0$ является решением системы.
• При $x = 2$:
  $2^2 - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$. Неравенство $3 > 0$ верно.
  $\frac{1}{2 - 4} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} < 2$ верно.
  Число $2$ является решением системы.

Ответ: Да, все указанные числа ($-1, 1, 0, 2$) являются решениями системы.

г) $\begin{cases} \frac{x + 4}{x} > 5 \\ x^2 - 6x - 8 < 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $\frac{-1 + 4}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$. Неравенство $-3 > 5$ неверно.
  Число $-1$ не является решением.
• При $x = 1$:
  $\frac{1 + 4}{1} = 5$. Неравенство $5 > 5$ неверно (т.к. $5$ равно $5$, а не больше).
  Число $1$ не является решением.
• При $x = 0$:
  В первом неравенстве $\frac{0 + 4}{0}$ происходит деление на ноль, что недопустимо. Число $0$ не входит в область допустимых значений.
  Число $0$ не является решением.
• При $x = 2$:
  $\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Неравенство $3 > 5$ неверно.
  Число $2$ не является решением.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.