Номер 151, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

151. a) $\frac{1}{x} > 1$;

б) $\frac{1}{x} < 1$;

в) $\frac{x+1}{x} > 1$;

г) $\frac{x-1}{x} < 1$.

а)

Дано неравенство $\frac{1}{x} > 1$.

Первым шагом перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 - x}{x} > 0$

Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $1 - x = 0 \implies x = 1$.

Нуль знаменателя: $x = 0$. (Это точка разрыва, она не входит в решение).

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Теперь определим знак выражения $\frac{1 - x}{x}$ на каждом из интервалов:

• На интервале $(1, \infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{1 - 2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$.
• На интервале $(0, 1)$, возьмем $x=0.5$: $\frac{1 - 0.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$.
• На интервале $(-\infty, 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{1 - (-1)}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{1 - x}{x}$ строго больше нуля. Согласно нашим вычислениям, это происходит на интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б)

Дано неравенство $\frac{1}{x} < 1$.

Аналогично пункту а), перенесем 1 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} - 1 < 0$

$\frac{1 - x}{x} < 0$

Мы можем использовать те же интервалы и знаки, что и в пункте а), так как анализируется то же самое выражение $\frac{1 - x}{x}$.

• Интервал $(1, \infty)$: знак минус (-).
• Интервал $(0, 1)$: знак плюс (+).
• Интервал $(-\infty, 0)$: знак минус (-).

В данном случае нас интересует, где выражение меньше нуля. Это происходит на двух интервалах: $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

в)

Дано неравенство $\frac{x+1}{x} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x+1}{x} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+1) - 1 \cdot x}{x} > 0$

Упростим числитель:

$\frac{x+1 - x}{x} > 0$

$\frac{1}{x} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель (1) всегда положителен, знаменатель также должен быть положителен.

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

Дано неравенство $\frac{x-1}{x} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x-1}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - 1 \cdot x}{x} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{x-1 - x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель (-1) всегда отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен.

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, \infty)$.