Номер 149, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

149. a) $\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} > 0;$

б) $\frac{16 - x^2}{x^2 - 5x - 6} < 0;$

в) $\frac{x^2 - 7x + 6}{(3x^2 - 12)(x - 1)} < 0;$

г) $\frac{25x^2 - 1}{5x^2 - 26x + 5} < 0.$

а)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} > 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $ x^2 - x - 2 $: найдем корни уравнения $ x^2 - x - 2 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = -1 $.
Таким образом, $ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $.

Для знаменателя $ x^2 - 9 $: используем формулу разности квадратов.
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.

2. Перепишем неравенство в виде:

$ \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} > 0 $

3. Решим неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя ($ x=2, x=-1 $) и нули знаменателя ($ x=3, x=-3 $). Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = + $
- При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = - $
- При $ -1 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} = + $
- При $ -3 < x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)(+)} = - $
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = + $

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty) $

б)

Решим неравенство $ \frac{16 - x^2}{x^2 - 5x - 6} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ 16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) = -(x - 4)(x + 4) $.

Знаменатель: $ x^2 - 5x - 6 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 5 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -6 $. Корни: $ x_1 = 6 $, $ x_2 = -1 $.
Таким образом, $ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{-(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 1)} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 1)} > 0 $

3. Решим методом интервалов.
Нули числителя: $ x=4, x=-4 $. Нули знаменателя: $ x=6, x=-1 $. Отметим точки на числовой оси.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 4) \cup (6; +\infty) $

в)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 7x + 6}{(3x^2 - 12)(x - 1)} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 7 $ и $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 6 $.
Таким образом, $ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) $.

Знаменатель: $ (3x^2 - 12)(x - 1) = 3(x^2 - 4)(x - 1) = 3(x - 2)(x + 2)(x - 1) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{(x - 1)(x - 6)}{3(x - 2)(x + 2)(x - 1)} < 0 $

3. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2, x \neq -2, x \neq 1 $.
Сократим дробь на $ (x - 1) $ при условии, что $ x \neq 1 $:

$ \frac{x - 6}{3(x - 2)(x + 2)} < 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ x=6 $. Нули знаменателя: $ x=2, x=-2 $. Отметим эти точки и точку $ x=1 $ из ОДЗ на числовой оси.

Определим знаки выражения $ \frac{x - 6}{3(x - 2)(x + 2)} $ на интервалах:
- $ x > 6 $: $ \frac{+}{+(+)(+)} = + $
- $ 2 < x < 6 $: $ \frac{-}{+(+)(+)} = - $
- $ -2 < x < 2 $: $ \frac{-}{+(-)(+)} = + $
- $ x < -2 $: $ \frac{-}{+(-)(-)} = - $

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-\infty; -2) $ и $ (2; 6) $. Точка $ x=1 $ не попадает в эти интервалы.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; 6) $

г)

Решим неравенство $ \frac{25x^2 - 1}{5x^2 - 26x + 5} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ 25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1) $.

Знаменатель: решим уравнение $ 5x^2 - 26x + 5 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 $.
$ x_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $
$ x_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5 $
Таким образом, $ 5x^2 - 26x + 5 = 5(x - \frac{1}{5})(x - 5) = (5x - 1)(x - 5) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{(5x - 1)(5x + 1)}{(5x - 1)(x - 5)} < 0 $

3. ОДЗ: $ 5x^2 - 26x + 5 \neq 0 $, значит $ x \neq \frac{1}{5} $ и $ x \neq 5 $.
Сократим дробь на $ (5x - 1) $, учитывая, что $ x \neq \frac{1}{5} $:

$ \frac{5x + 1}{x - 5} < 0 $

4. Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/5 $.
Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $.
Отметим на оси точки $ -1/5 $, $ 5 $ и выколотую точку $ 1/5 $ из ОДЗ.

Определим знаки выражения $ \frac{5x + 1}{x - 5} $ на интервалах:
- $ x > 5 $: $ \frac{+}{+} = + $
- $ -1/5 < x < 5 $: $ \frac{+}{-} = - $
- $ x < -1/5 $: $ \frac{-}{-} = + $

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-1/5; 5) $.
Учитывая ОДЗ ($ x \neq 1/5 $), мы должны исключить эту точку из полученного интервала.

Ответ: $ x \in (-1/5; 1/5) \cup (1/5; 5) $