Номер 150, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

150. a) $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 7x + 6} < 0;$

б) $\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 2x + 5} > 0;$

в) $\frac{x^2 - 3}{7x^2 + 3x + 2} > 0;$

г) $\frac{4x^2 + 5x + 3}{5 - x^2} < 0.$

а)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 7x + 6} < 0$.

1. Анализируем числитель: $x^2 - x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 - 7x + 6 < 0$.

3. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

4. Решим неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$ методом интервалов. Корни 1 и 6 разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y = x^2 - 7x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (1; 6)$

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 2x + 5} > 0$.

1. Анализируем знаменатель: $x^2 - 2x + 5$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 5$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 + 4x - 21 > 0$.

3. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

4. Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$. Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 3}{7x^2 + 3x + 2} > 0$.

1. Анализируем знаменатель: $7x^2 + 3x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 9 - 56 = -47$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=7 > 0$, знаменатель $7x^2 + 3x + 2$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку знаменатель всегда положителен, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 - 3 > 0$.

3. Решим неравенство $x^2 - 3 > 0$. Это эквивалентно $x^2 > 3$. Корни уравнения $x^2 - 3 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Графиком функции $y = x^2 - 3$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -\sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

г)

Рассмотрим неравенство $\frac{4x^2 + 5x + 3}{5 - x^2} < 0$.

1. Анализируем числитель: $4x^2 + 5x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 25 - 48 = -23$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=4 > 0$, числитель $4x^2 + 5x + 3$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Исходное неравенство равносильно неравенству $5 - x^2 < 0$.

3. Решим неравенство $5 - x^2 < 0$. Это эквивалентно $x^2 > 5$. Корни уравнения $5 - x^2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

4. Графиком функции $y = 5 - x^2$ является парабола с ветвями вниз. Значения функции отрицательны (ниже оси Ox) вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -\sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$