Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

141. Какие неравенства называют равносильными? Равносильны ли неравенства:

а) $3x > 0$ и $\frac{3}{x} > 0$;

б) $-5x > 0$ и $\frac{5}{x} < 0$;

в) $\frac{x+1}{x+2} < 0$ и $(x+1)(x+2) < 0$?

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если множества их решений совпадают. Иными словами, любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, любое решение второго является решением первого.

Проверим равносильность неравенств в каждом пункте.

а) $3x > 0$ и $\frac{3}{x} > 0$

Решим первое неравенство:
$3x > 0$
Разделим обе части на 3 (положительное число), знак неравенства не изменится:
$x > 0$
Множество решений: $(0; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$\frac{3}{x} > 0$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель 3 положителен, то и знаменатель должен быть положителен:
$x > 0$
Множество решений: $(0; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.

б) $-5x > 0$ и $\frac{5}{x} < 0$

Решим первое неравенство:
$-5x > 0$
Разделим обе части на -5 (отрицательное число), знак неравенства изменится на противоположный:
$x < 0$
Множество решений: $(-\infty; 0)$.

Решим второе неравенство:
$\frac{5}{x} < 0$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель 5 положителен, то знаменатель должен быть отрицателен:
$x < 0$
Множество решений: $(-\infty; 0)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.

в) $\frac{x+1}{x+2} < 0$ и $(x+1)(x+2) < 0$

Решим первое неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+1=0 \implies x=-1$.
Найдем нули знаменателя (точка разрыва): $x+2=0 \implies x=-2$.
Отметим точки -2 и -1 на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x+1}{x+2}$ в каждом интервале:
- при $x < -2$, выражение положительно.
- при $-2 < x < -1$, выражение отрицательно.
- при $x > -1$, выражение положительно.
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, следовательно, решение: $-2 < x < -1$.
Множество решений: $(-2; -1)$.

Решим второе неравенство. Это квадратичное неравенство, которое также можно решить методом интервалов.
Найдем корни уравнения $(x+1)(x+2) = 0$. Корни: $x=-1$ и $x=-2$.
Парабола $y=(x+1)(x+2)$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение: $-2 < x < -1$.
Множество решений: $(-2; -1)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.

Решите неравенство (142—155):

142. a) $\frac{5}{x} > 0$; б) $-\frac{3}{x} < 0$; в) $\frac{1}{x-1} < 0$; г) $\frac{1}{2x+1} > 0$.

а) Решим неравенство $\frac{5}{x} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 5, что является положительным числом ($5 > 0$). Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель $x$ также должен быть положительным. При этом, область допустимых значений ($x \neq 0$) уже учтена в этом условии.

Получаем простое неравенство: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Решим неравенство $-\frac{3}{x} < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{3}{x} > 0$

Теперь, как и в предыдущем пункте, мы имеем дробь, которая должна быть положительной. Числитель 3 — положительное число. Значит, и знаменатель $x$ должен быть положительным.

Получаем условие: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} < 0$.

Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель $x-1$ должен быть отрицательным. Область допустимых значений ($x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$) будет автоматически удовлетворена решением.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{2x+1} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, знаменатель $2x+1$ также должен быть положительным.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$2x + 1 > 0$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

143. а) $\frac{x-1}{x-2} > 0$;

б) $\frac{x-4}{x-2} < 0$;

в) $\frac{x+3}{x-5} < 0$;

г) $\frac{x-7}{x+8} > 0$.

а) Для решения неравенства $\frac{x-1}{x-2} > 0$ применим метод интервалов. Сначала найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это нуль числителя $x-1=0 \implies x=1$ и нуль знаменателя $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки (1 и 2) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале, подставив пробную точку.

• В интервале $(2, +\infty)$, при $x=3$, дробь $\frac{3-1}{3-2} = 2 > 0$ (знак "+").
• В интервале $(1, 2)$, при $x=1.5$, дробь $\frac{1.5-1}{1.5-2} = -1 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, 1)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-1}{0-2} = 0.5 > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "больше" ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

б) Для решения неравенства $\frac{x-4}{x-2} < 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки (2 и 4) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(4, +\infty)$, при $x=5$, дробь $\frac{5-4}{5-2} = \frac{1}{3} > 0$ (знак "+").
• В интервале $(2, 4)$, при $x=3$, дробь $\frac{3-4}{3-2} = -1 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, 2)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-4}{0-2} = 2 > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "меньше" ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (2, 4)$.

в) Для решения неравенства $\frac{x+3}{x-5} < 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$ и $x-5=0 \implies x=5$. Эти точки (-3 и 5) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 5)$ и $(5, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(5, +\infty)$, при $x=6$, дробь $\frac{6+3}{6-5} = 9 > 0$ (знак "+").
• В интервале $(-3, 5)$, при $x=0$, дробь $\frac{0+3}{0-5} = -0.6 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, -3)$, при $x=-4$, дробь $\frac{-4+3}{-4-5} = \frac{-1}{-9} > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "меньше" ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-3, 5)$.

г) Для решения неравенства $\frac{x-7}{x+8} > 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x-7=0 \implies x=7$ и $x+8=0 \implies x=-8$. Эти точки (-8 и 7) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 7)$ и $(7, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(7, +\infty)$, при $x=10$, дробь $\frac{10-7}{10+8} = \frac{3}{18} > 0$ (знак "+").
• В интервале $(-8, 7)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-7}{0+8} = -\frac{7}{8} < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, -8)$, при $x=-10$, дробь $\frac{-10-7}{-10+8} = \frac{-17}{-2} > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "больше" ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, +\infty)$.

144. а) $ \frac{x-6}{2-x} > 0 $

б) $ \frac{4-x}{x-9} < 0 $

в) $ \frac{2x+4}{4x+2} < 0 $

г) $ \frac{3x+6}{9x-3} > 0 $

а) $\frac{x-6}{2-x} > 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Нуль знаменателя: $2 - x = 0 \implies x = 2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 2$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми (не включенными в решение).
Точки $2$ и $6$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 6)$ и $(6, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{x-6}{2-x}$ в каждом интервале, подставляя в него любое значение из этого интервала.
- При $x \in (-\infty, 2)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-6}{2-0} = \frac{-6}{2} = -3 < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (2, 6)$, возьмем $x=3$: $\frac{3-6}{2-3} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (6, \infty)$, возьмем $x=7$: $\frac{7-6}{2-7} = \frac{1}{-5} = -0.2 < 0$. Знак "минус".
4. Согласно условию неравенства, нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервал $(2, 6)$.

Ответ: $x \in (2, 6)$.

б) $\frac{4-x}{x-9} < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.
Нуль знаменателя: $x - 9 = 0 \implies x = 9$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 9$.
2. Отметим точки $4$ и $9$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty, 4)$, $(4, 9)$ и $(9, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{4-x}{x-9}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, 4)$, возьмем $x=0$: $\frac{4-0}{0-9} = \frac{4}{-9} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (4, 9)$, возьмем $x=5$: $\frac{4-5}{5-9} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (9, \infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{4-10}{10-9} = \frac{-6}{1} = -6 < 0$. Знак "минус".
4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 4)$ и $(9, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)$.

в) $\frac{2x+4}{4x+2} < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $4x + 2 = 0 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -\frac{1}{2}$.
2. Отметим точки $-2$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{2x+4}{4x+2}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{2(-3)+4}{4(-3)+2} = \frac{-6+4}{-12+2} = \frac{-2}{-10} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, -\frac{1}{2})$, возьмем $x=-1$: $\frac{2(-1)+4}{4(-1)+2} = \frac{-2+4}{-4+2} = \frac{2}{-2} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (-\frac{1}{2}, \infty)$, возьмем $x=0$: $\frac{2(0)+4}{4(0)+2} = \frac{4}{2} > 0$. Знак "плюс".
4. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервал $(-2, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2, -\frac{1}{2})$.

г) $\frac{3x+6}{9x-3} > 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x + 6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $9x - 3 = 0 \implies 9x = 3 \implies x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq \frac{1}{3}$.
2. Отметим точки $-2$ и $\frac{1}{3}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{3x+6}{9x-3}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{3(-3)+6}{9(-3)-3} = \frac{-9+6}{-27-3} = \frac{-3}{-30} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, \frac{1}{3})$, возьмем $x=0$: $\frac{3(0)+6}{9(0)-3} = \frac{6}{-3} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (\frac{1}{3}, \infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3(1)+6}{9(1)-3} = \frac{9}{6} > 0$. Знак "плюс".
4. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(\frac{1}{3}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$.

145. а) $\frac{2x+3}{x-4} < 0$;

б) $\frac{7+x}{4x-3} > 0$;

в) $\frac{12x-6}{5x-4} > 0$;

г) $\frac{7x-1}{2x+5} < 0$.

а) Решим неравенство $\frac{2x+3}{x-4} < 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x+3=0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-4=0 \implies x = 4$.

2. Отмечаем точки $x=-1.5$ и $x=4$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (не включаются в решение). Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале, подставляя в нее произвольное значение из этого интервала.
- На интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x=5$: $\frac{2(5)+3}{5-4} = \frac{13}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-1.5; 4)$, возьмем $x=0$: $\frac{2(0)+3}{0-4} = -\frac{3}{4} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -1.5)$, возьмем $x=-2$: $\frac{2(-2)+3}{-2-4} = \frac{-1}{-6} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), искомым решением является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-1.5; 4)$.

б) Решим неравенство $\frac{7+x}{4x-3} > 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7+x=0 \implies x = -7$.
Нуль знаменателя: $4x-3=0 \implies 4x=3 \implies x = \frac{3}{4}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=-7$ и $x=\frac{3}{4}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{3}{4}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{7+1}{4(1)-3} = \frac{8}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-7; \frac{3}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{7+0}{4(0)-3} = -\frac{7}{3} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -7)$, возьмем $x=-8$: $\frac{7-8}{4(-8)-3} = \frac{-1}{-35} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), решением является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{12x-6}{5x-4} > 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $12x-6=0 \implies 12x=6 \implies x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Нуль знаменателя: $5x-4=0 \implies 5x=4 \implies x = \frac{4}{5}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{4}{5}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{4}{5}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{12(1)-6}{5(1)-4} = \frac{6}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$, возьмем $x=0.6$: $\frac{12(0.6)-6}{5(0.6)-4} = \frac{7.2-6}{3-4} = \frac{1.2}{-1} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; \frac{1}{2})$, возьмем $x=0$: $\frac{12(0)-6}{5(0)-4} = \frac{-6}{-4} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), решением является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{7x-1}{2x+5} < 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7x-1=0 \implies 7x=1 \implies x = \frac{1}{7}$.
Нуль знаменателя: $2x+5=0 \implies 2x=-5 \implies x = -\frac{5}{2}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=-\frac{5}{2}$ и $x=\frac{1}{7}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{5}{2})$, $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$ и $(\frac{1}{7}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{1}{7}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{7(1)-1}{2(1)+5} = \frac{6}{7} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$, возьмем $x=0$: $\frac{7(0)-1}{2(0)+5} = -\frac{1}{5} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -\frac{5}{2})$, возьмем $x=-3$: $\frac{7(-3)-1}{2(-3)+5} = \frac{-22}{-1} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), искомым решением является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$.

146. a) $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} > 0;$

б) $\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x+1)(7-x)}{(8+x)(x-5)} < 0;$

г) $\frac{(x-6)(4-x)}{(x-1)(1+x)} > 0.$

а) $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} > 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используется метод интервалов. Сначала находим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых знак выражения постоянен.

1. Находим нули числителя: $(x-1)(x+2) = 0$. Отсюда получаем $x=1$ и $x=-2$.

2. Находим нули знаменателя: $x-3=0$. Отсюда $x=3$. Значение $x=3$ не входит в область допустимых значений (ОДЗ), так как на ноль делить нельзя.

3. Отмечаем найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут "выколотыми" (не включаются в решение). Точки в порядке возрастания: -2, 1, 3.

4. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 3)$, $(3, \infty)$. Для этого подставляем в выражение любое число из каждого интервала.

• Интервал $(3, \infty)$: возьмем $x=4$. $\frac{(4-1)(4+2)}{4-3} = \frac{3 \cdot 6}{1} = 18$. Знак "+".
• Интервал $(1, 3)$: возьмем $x=2$. $\frac{(2-1)(2+2)}{2-3} = \frac{1 \cdot 4}{-1} = -4$. Знак "-".
• Интервал $(-2, 1)$: возьмем $x=0$. $\frac{(0-1)(0+2)}{0-3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x=-3$. $\frac{(-3-1)(-3+2)}{-3-3} = \frac{(-4)(-1)}{-6} = -\frac{2}{3}$. Знак "-".

5. Выбираем интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства ($>0$, т.е. знак "+"). Это интервалы $(-2, 1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} < 0$

Решаем аналогично методом интервалов.

1. Нули числителя: $(x+1)(x-2) = 0$, откуда $x=-1$ и $x=2$.

2. Нуль знаменателя: $x+3=0$, откуда $x=-3$.

3. Отмечаем точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому все точки "выколотые".

4. Определяем знаки на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, \infty)$. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=3$: $\frac{(3+1)(3-2)}{3+3} = \frac{4}{6} > 0$. Знак "+". Так как все множители имеют нечетную (первую) степень, знаки на интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем знаки: "+", "-", "+", "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$, т.е. знак "-"). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2)$.

в) $\frac{(x+1)(7-x)}{(8+x)(x-5)} < 0$

1. Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, где переменная $x$ во всех скобках стоит на первом месте с положительным коэффициентом. Для этого в множителе $(7-x)$ вынесем минус за скобки: $7-x = -(x-7)$.

$\frac{(x+1)(-(x-7))}{(x+8)(x-5)} < 0$

2. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{(x+1)(x-7)}{(x+8)(x-5)} > 0$

3. Находим нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=-1$ и $x=7$.

Нули знаменателя: $x=-8$ и $x=5$.

4. Отмечаем все точки ($-8, -1, 5, 7$) на числовой оси. Все точки "выколотые".

5. Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=10$: $\frac{(10+1)(10-7)}{(10+8)(10-5)} > 0$. Знак "+". Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля ($>0$, знак "+"). Это $(-\infty, -8)$, $(-1, 5)$ и $(7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (-1, 5) \cup (7, \infty)$.

г) $\frac{(x-6)(4-x)}{(x-1)(1+x)} > 0$

1. Преобразуем неравенство, вынеся минус из скобки $(4-x)$: $4-x = -(x-4)$.

$\frac{(x-6)(-(x-4))}{(x-1)(x+1)} > 0$

2. Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-6)(x-4)}{(x-1)(x+1)} < 0$

3. Находим нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=6$ и $x=4$.

Нули знаменателя: $x=1$ и $x=-1$.

4. Отмечаем точки ($-1, 1, 4, 6$) на числовой оси. Все точки "выколотые".

5. Определяем знаки. Возьмем $x=10$: $\frac{(10-6)(10-4)}{(10-1)(10+1)} > 0$. Знак "+". Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Нам нужны интервалы со знаком "-" ($<0$). Это $(-1, 1)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$.

147. a) $ \frac{4x^2 - x}{x + 1} > 0; $

б) $ \frac{3x - x^2}{x - 2} < 0; $

в) $ \frac{13x - 2x^2}{4x - x^2} < 0; $

г) $ \frac{15x - 5x^2}{12x - 3x^2} > 0. $

а)

Решим неравенство $\frac{4x^2-x}{x+1} > 0$.

Данное неравенство равносильно системе, в которой числитель и знаменатель либо оба положительны, либо оба отрицательны. Однако, удобнее решить его методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $4x^2-x = 0$ $x(4x-1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{4}$

2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x+1 = 0$ $x_3 = -1$

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

4. Определим знаки выражения $f(x) = \frac{x(4x-1)}{x+1}$ на каждом из полученных интервалов:

• При $x > \frac{1}{4}$ (например, $x=1$): $f(1) = \frac{1(4-1)}{1+1} = \frac{3}{2} > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < \frac{1}{4}$ (например, $x=0.1$): $f(0.1) = \frac{0.1(0.4-1)}{0.1+1} = \frac{-0.06}{1.1} < 0$. Знак «-».
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $f(-0.5) = \frac{-0.5(4(-0.5)-1)}{-0.5+1} = \frac{-0.5(-3)}{0.5} > 0$. Знак «+».
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $f(-2) = \frac{-2(4(-2)-1)}{-2+1} = \frac{-2(-9)}{-1} < 0$. Знак «-».

5. Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{3x-x^2}{x-2} < 0$.

1. Найдем нули числителя: $3x-x^2 = 0$ $x(3-x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$

2. Найдем нули знаменателя: $x-2 = 0$ $x_3 = 2$

3. Отметим точки $0, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Определим знаки выражения $f(x) = \frac{x(3-x)}{x-2}$ на каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $f(4) = \frac{4(3-4)}{4-2} = \frac{-4}{2} < 0$. Знак «-».
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $f(2.5) = \frac{2.5(3-2.5)}{2.5-2} = \frac{1.25}{0.5} > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $f(1) = \frac{1(3-1)}{1-2} = \frac{2}{-1} < 0$. Знак «-».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $f(-1) = \frac{-1(3-(-1))}{-1-2} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак «+».

5. Поскольку неравенство имеет вид $< 0$, выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{13x-2x^2}{4x-x^2} < 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{x(13-2x)}{x(4-x)} < 0$

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $x(4-x) \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

3. При $x \neq 0$ можно сократить дробь: $\frac{13-2x}{4-x} < 0$

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $13-2x = 0 \implies x = 6.5$. Нуль знаменателя: $4-x = 0 \implies x = 4$.

5. Отметим на числовой оси точки $4$ и $6.5$, а также точку $0$ из ОДЗ. Все точки выколотые.

6. Определим знаки выражения $g(x) = \frac{13-2x}{4-x}$ на интервалах. (Заметим, что в исходном выражении множитель $x$ встречается и в числителе, и в знаменателе, поэтому при переходе через точку $x=0$ знак выражения не меняется).

• При $x > 6.5$ (например, $x=7$): $g(7) = \frac{13-14}{4-7} = \frac{-1}{-3} > 0$. Знак «+».
• При $4 < x < 6.5$ (например, $x=5$): $g(5) = \frac{13-10}{4-5} = \frac{3}{-1} < 0$. Знак «-».
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $g(1) = \frac{13-2}{4-1} = \frac{11}{3} > 0$. Знак «+».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $g(-1) = \frac{13+2}{4+1} = \frac{15}{5} > 0$. Знак «+».

7. Выбираем интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in (4; 6.5)$.

г)

Решим неравенство $\frac{15x-5x^2}{12x-3x^2} > 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{5x(3-x)}{3x(4-x)} > 0$

2. ОДЗ: $3x(4-x) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

3. При $x \neq 0$ сократим дробь: $\frac{5(3-x)}{3(4-x)} > 0$ Так как $\frac{5}{3} > 0$, это неравенство равносильно $\frac{3-x}{4-x} > 0$

4. Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $3-x=0 \implies x = 3$. Нуль знаменателя: $4-x=0 \implies x = 4$.

5. Отметим на оси точки $3$, $4$ и точку $0$ из ОДЗ. Все точки выколотые.

6. Определим знаки выражения $g(x) = \frac{3-x}{4-x}$ на интервалах. (Как и в предыдущем примере, знак выражения не меняется при переходе через $x=0$).

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $g(5) = \frac{3-5}{4-5} = \frac{-2}{-1} > 0$. Знак «+».
• При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $g(3.5) = \frac{3-3.5}{4-3.5} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$. Знак «-».
• При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $g(1) = \frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3} > 0$. Знак «+».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $g(-1) = \frac{3-(-1)}{4-(-1)} = \frac{4}{5} > 0$. Знак «+».

7. Выбираем интервалы со знаком «+», исключая точку $0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (4; +\infty)$.

148. a) $ \frac{x^2 - 1}{x + 4} > 0; $

в) $ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1} < 0; $

б) $ \frac{x^2 - 4}{x - 3} < 0; $

г) $ \frac{7 + x}{x^2 - 6x + 9} > 0. $

а) Решим неравенство $ \frac{x^2-1}{x+4} > 0 $ методом интервалов.
1. Разложим числитель на множители: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-1)(x+1)}{x+4} > 0 $.
2. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может менять знак.
Нули числителя: $ (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 $.
Нуль знаменателя: $ x+4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4 $. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=-4$ будет выколотой.
3. Отметим найденные точки на числовой оси: -4, -1, 1. Они разбивают ось на четыре интервала: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -1) $, $ (-1; 1) $, $ (1; +\infty) $.
4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(2-1)(2+1)}{2+4} = \frac{1 \cdot 3}{6} > 0 $. Знак "+".
• При $ -1 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(0-1)(0+1)}{0+4} = \frac{-1 \cdot 1}{4} < 0 $. Знак "-".
• При $ -4 < x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{(-2-1)(-2+1)}{-2+4} = \frac{-3 \cdot -1}{2} > 0 $. Знак "+".
• При $ x < -4 $ (например, $ x=-5 $): $ \frac{(-5-1)(-5+1)}{-5+4} = \frac{-6 \cdot -4}{-1} < 0 $. Знак "-".

5. Так как неравенство строгое ($ > 0 $), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $ x \in (-4; -1) \cup (1; +\infty) $.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2-4}{x-3} < 0 $ методом интервалов.
1. Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0 $.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2 $.
Нуль знаменателя: $ x-3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3 $. Точка $x=3$ выколотая.
3. Отметим точки -2, 2, 3 на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $ (-\infty; -2) $, $ (-2; 2) $, $ (2; 3) $, $ (3; +\infty) $.
4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(4-2)(4+2)}{4-3} > 0 $. Знак "+".
• При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{(2.5-2)(2.5+2)}{2.5-3} < 0 $. Знак "-".
• При $ -2 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(0-2)(0+2)}{0-3} > 0 $. Знак "+".
• При $ x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-3} < 0 $. Знак "-".

5. Так как неравенство строгое ($ < 0 $), выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; 3) $.

в) Решим неравенство $ \frac{x^2-4x+4}{x-1} < 0 $.
1. Заметим, что числитель является полным квадратом: $ x^2-4x+4 = (x-2)^2 $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)^2}{x-1} < 0 $.
2. Выражение $ (x-2)^2 $ всегда неотрицательно, то есть $ (x-2)^2 \ge 0 $ для любого $x$. Оно равно нулю при $ x=2 $.
3. Так как неравенство строгое ($ < 0 $), числитель не может быть равен нулю, значит $ x \ne 2 $.
4. При $ x \ne 2 $ числитель $ (x-2)^2 $ всегда положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным: $ x-1 < 0 $.
5. Решаем неравенство $ x-1 < 0 \Rightarrow x < 1 $.
6. Условие $ x < 1 $ не противоречит условию $ x \ne 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 1) $.

г) Решим неравенство $ \frac{7+x}{x^2-6x+9} > 0 $.
1. Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $. Неравенство примет вид: $ \frac{7+x}{(x-3)^2} > 0 $.
2. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ (x-3)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 $.
3. При $ x \ne 3 $ выражение в знаменателе $ (x-3)^2 $ всегда положительно.
4. Чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть положительным: $ 7+x > 0 $.
5. Решаем неравенство $ 7+x > 0 \Rightarrow x > -7 $.
6. Объединяя условия $ x > -7 $ и $ x \ne 3 $, получаем решение. Это все числа, большие -7, за исключением числа 3.
Ответ: $ x \in (-7; 3) \cup (3; +\infty) $.

149. a) $\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} > 0;$

б) $\frac{16 - x^2}{x^2 - 5x - 6} < 0;$

в) $\frac{x^2 - 7x + 6}{(3x^2 - 12)(x - 1)} < 0;$

г) $\frac{25x^2 - 1}{5x^2 - 26x + 5} < 0.$

а)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} > 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $ x^2 - x - 2 $: найдем корни уравнения $ x^2 - x - 2 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = -1 $.
Таким образом, $ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $.

Для знаменателя $ x^2 - 9 $: используем формулу разности квадратов.
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.

2. Перепишем неравенство в виде:

$ \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} > 0 $

3. Решим неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя ($ x=2, x=-1 $) и нули знаменателя ($ x=3, x=-3 $). Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = + $
- При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = - $
- При $ -1 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} = + $
- При $ -3 < x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)(+)} = - $
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = + $

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty) $

б)

Решим неравенство $ \frac{16 - x^2}{x^2 - 5x - 6} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ 16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) = -(x - 4)(x + 4) $.

Знаменатель: $ x^2 - 5x - 6 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 5 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -6 $. Корни: $ x_1 = 6 $, $ x_2 = -1 $.
Таким образом, $ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{-(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 1)} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 1)} > 0 $

3. Решим методом интервалов.
Нули числителя: $ x=4, x=-4 $. Нули знаменателя: $ x=6, x=-1 $. Отметим точки на числовой оси.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 4) \cup (6; +\infty) $

в)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 7x + 6}{(3x^2 - 12)(x - 1)} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 7 $ и $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 6 $.
Таким образом, $ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) $.

Знаменатель: $ (3x^2 - 12)(x - 1) = 3(x^2 - 4)(x - 1) = 3(x - 2)(x + 2)(x - 1) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{(x - 1)(x - 6)}{3(x - 2)(x + 2)(x - 1)} < 0 $

3. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2, x \neq -2, x \neq 1 $.
Сократим дробь на $ (x - 1) $ при условии, что $ x \neq 1 $:

$ \frac{x - 6}{3(x - 2)(x + 2)} < 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ x=6 $. Нули знаменателя: $ x=2, x=-2 $. Отметим эти точки и точку $ x=1 $ из ОДЗ на числовой оси.

Определим знаки выражения $ \frac{x - 6}{3(x - 2)(x + 2)} $ на интервалах:
- $ x > 6 $: $ \frac{+}{+(+)(+)} = + $
- $ 2 < x < 6 $: $ \frac{-}{+(+)(+)} = - $
- $ -2 < x < 2 $: $ \frac{-}{+(-)(+)} = + $
- $ x < -2 $: $ \frac{-}{+(-)(-)} = - $

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-\infty; -2) $ и $ (2; 6) $. Точка $ x=1 $ не попадает в эти интервалы.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; 6) $

г)

Решим неравенство $ \frac{25x^2 - 1}{5x^2 - 26x + 5} < 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ 25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1) $.

Знаменатель: решим уравнение $ 5x^2 - 26x + 5 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 $.
$ x_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $
$ x_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5 $
Таким образом, $ 5x^2 - 26x + 5 = 5(x - \frac{1}{5})(x - 5) = (5x - 1)(x - 5) $.

2. Перепишем неравенство:

$ \frac{(5x - 1)(5x + 1)}{(5x - 1)(x - 5)} < 0 $

3. ОДЗ: $ 5x^2 - 26x + 5 \neq 0 $, значит $ x \neq \frac{1}{5} $ и $ x \neq 5 $.
Сократим дробь на $ (5x - 1) $, учитывая, что $ x \neq \frac{1}{5} $:

$ \frac{5x + 1}{x - 5} < 0 $

4. Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/5 $.
Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $.
Отметим на оси точки $ -1/5 $, $ 5 $ и выколотую точку $ 1/5 $ из ОДЗ.

Определим знаки выражения $ \frac{5x + 1}{x - 5} $ на интервалах:
- $ x > 5 $: $ \frac{+}{+} = + $
- $ -1/5 < x < 5 $: $ \frac{+}{-} = - $
- $ x < -1/5 $: $ \frac{-}{-} = + $

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-1/5; 5) $.
Учитывая ОДЗ ($ x \neq 1/5 $), мы должны исключить эту точку из полученного интервала.

Ответ: $ x \in (-1/5; 1/5) \cup (1/5; 5) $

150. a) $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 7x + 6} < 0;$

б) $\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 2x + 5} > 0;$

в) $\frac{x^2 - 3}{7x^2 + 3x + 2} > 0;$

г) $\frac{4x^2 + 5x + 3}{5 - x^2} < 0.$

а)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 7x + 6} < 0$.

1. Анализируем числитель: $x^2 - x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 - 7x + 6 < 0$.

3. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

4. Решим неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$ методом интервалов. Корни 1 и 6 разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y = x^2 - 7x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (1; 6)$

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 2x + 5} > 0$.

1. Анализируем знаменатель: $x^2 - 2x + 5$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 5$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 + 4x - 21 > 0$.

3. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

4. Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$. Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 3}{7x^2 + 3x + 2} > 0$.

1. Анализируем знаменатель: $7x^2 + 3x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 9 - 56 = -47$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=7 > 0$, знаменатель $7x^2 + 3x + 2$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку знаменатель всегда положителен, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 - 3 > 0$.

3. Решим неравенство $x^2 - 3 > 0$. Это эквивалентно $x^2 > 3$. Корни уравнения $x^2 - 3 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Графиком функции $y = x^2 - 3$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -\sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

г)

Рассмотрим неравенство $\frac{4x^2 + 5x + 3}{5 - x^2} < 0$.

1. Анализируем числитель: $4x^2 + 5x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 25 - 48 = -23$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=4 > 0$, числитель $4x^2 + 5x + 3$ положителен при любых значениях $x$.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Исходное неравенство равносильно неравенству $5 - x^2 < 0$.

3. Решим неравенство $5 - x^2 < 0$. Это эквивалентно $x^2 > 5$. Корни уравнения $5 - x^2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

4. Графиком функции $y = 5 - x^2$ является парабола с ветвями вниз. Значения функции отрицательны (ниже оси Ox) вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -\sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$