Номер 143, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

143. а) $\frac{x-1}{x-2} > 0$;

б) $\frac{x-4}{x-2} < 0$;

в) $\frac{x+3}{x-5} < 0$;

г) $\frac{x-7}{x+8} > 0$.

а) Для решения неравенства $\frac{x-1}{x-2} > 0$ применим метод интервалов. Сначала найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это нуль числителя $x-1=0 \implies x=1$ и нуль знаменателя $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки (1 и 2) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале, подставив пробную точку.

• В интервале $(2, +\infty)$, при $x=3$, дробь $\frac{3-1}{3-2} = 2 > 0$ (знак "+").
• В интервале $(1, 2)$, при $x=1.5$, дробь $\frac{1.5-1}{1.5-2} = -1 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, 1)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-1}{0-2} = 0.5 > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "больше" ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

б) Для решения неравенства $\frac{x-4}{x-2} < 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки (2 и 4) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(4, +\infty)$, при $x=5$, дробь $\frac{5-4}{5-2} = \frac{1}{3} > 0$ (знак "+").
• В интервале $(2, 4)$, при $x=3$, дробь $\frac{3-4}{3-2} = -1 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, 2)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-4}{0-2} = 2 > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "меньше" ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (2, 4)$.

в) Для решения неравенства $\frac{x+3}{x-5} < 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$ и $x-5=0 \implies x=5$. Эти точки (-3 и 5) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 5)$ и $(5, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(5, +\infty)$, при $x=6$, дробь $\frac{6+3}{6-5} = 9 > 0$ (знак "+").
• В интервале $(-3, 5)$, при $x=0$, дробь $\frac{0+3}{0-5} = -0.6 < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, -3)$, при $x=-4$, дробь $\frac{-4+3}{-4-5} = \frac{-1}{-9} > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "меньше" ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-3, 5)$.

г) Для решения неравенства $\frac{x-7}{x+8} > 0$ применим метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $x-7=0 \implies x=7$ и $x+8=0 \implies x=-8$. Эти точки (-8 и 7) делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 7)$ и $(7, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

• В интервале $(7, +\infty)$, при $x=10$, дробь $\frac{10-7}{10+8} = \frac{3}{18} > 0$ (знак "+").
• В интервале $(-8, 7)$, при $x=0$, дробь $\frac{0-7}{0+8} = -\frac{7}{8} < 0$ (знак "-").
• В интервале $(-\infty, -8)$, при $x=-10$, дробь $\frac{-10-7}{-10+8} = \frac{-17}{-2} > 0$ (знак "+").

Поскольку знак неравенства "больше" ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, +\infty)$.