Номер 136, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

136. а) $(2 - x)(x + 3)(x - 7) < 0;$

б) $(5 - x)(x - 3)(x + 12) > 0;$

в) $(3x - 4)(1 - x)(2x + 1) > 0;$

г) $(2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0;$

д) $(5x - 6)(6x - 5)(1 - x)(3x + 1) > 0;$

е) $(10x - 1)(x + 2)(7x - 4)(7x + 5) < 0.$

а) $(2 - x)(x + 3)(x - 7) < 0$

Для решения неравенства методом интервалов приведем его к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из скобки $(2 - x)$:

$-(x - 2)(x + 3)(x - 7) < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(x + 3)(x - 7) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 3)(x - 7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$, $x_2 = -3$, $x_3 = 7$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(7; +\infty)$ все множители положительны, поэтому знак выражения — плюс. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Получаем следующую расстановку знаков: $(-\infty; -3) \rightarrow (-)$, $(-3; 2) \rightarrow (+)$, $(2; 7) \rightarrow (-)$, $(7; +\infty) \rightarrow (+)$.

Поскольку мы решаем неравенство $(x - 2)(x + 3)(x - 7) > 0$, нам нужны интервалы со знаком плюс.

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(5 - x)(x - 3)(x + 12) > 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из первой скобки:

$-(x - 5)(x - 3)(x + 12) > 0$

Умножим на $-1$, изменив знак неравенства:

$(x - 5)(x - 3)(x + 12) < 0$

Найдем нули левой части: $x_1 = 5$, $x_2 = 3$, $x_3 = -12$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-12$, $3$, $5$. Они образуют интервалы $(-\infty; -12)$, $(-12; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. На интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-\infty; -12) \rightarrow (-)$, $(-12; 3) \rightarrow (+)$, $(3; 5) \rightarrow (-)$, $(5; +\infty) \rightarrow (+)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; 5)$.

в) $(3x - 4)(1 - x)(2x + 1) > 0$

Приведем неравенство к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(1 - x)$:

$-(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) > 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) < 0$

Найдем корни уравнения $(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) = 0$:

$3x - 4 = 0 \implies x_1 = \frac{4}{3}$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$2x + 1 = 0 \implies x_3 = -\frac{1}{2}$

Отметим на числовой оси точки $-\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{4}{3}$. Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; 1)$, $(1; \frac{4}{3})$, $(\frac{4}{3}; +\infty)$.

Знаки на интервалах, начиная с крайнего правого: +, -, +, -. Расстановка знаков: $(-\infty; -\frac{1}{2}) \rightarrow (-)$, $(-\frac{1}{2}; 1) \rightarrow (+)$, $(1; \frac{4}{3}) \rightarrow (-)$, $(\frac{4}{3}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Мы ищем решения для неравенства со знаком "меньше".

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; \frac{4}{3})$.

г) $(2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0$

Данное неравенство уже представлено в стандартном виде. Решим его методом интервалов.

Найдем нули левой части:

$2x - 5 = 0 \implies x_1 = \frac{5}{2}$

$7x + 3 = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{7}$

$x + 8 = 0 \implies x_3 = -8$

Отметим на числовой оси точки $-8$, $-\frac{3}{7}$, $\frac{5}{2}$. Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; -\frac{3}{7})$, $(-\frac{3}{7}; \frac{5}{2})$, $(\frac{5}{2}; +\infty)$.

Расстановка знаков, начиная с крайнего правого: +, -, +, -. Таким образом: $(-\infty; -8) \rightarrow (-)$, $(-8; -\frac{3}{7}) \rightarrow (+)$, $(-\frac{3}{7}; \frac{5}{2}) \rightarrow (-)$, $(\frac{5}{2}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Неравенство имеет знак "меньше", поэтому выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-\frac{3}{7}; \frac{5}{2})$.

д) $(5x - 6)(6x - 5)(1 - x)(3x + 1) > 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из скобки $(1 - x)$:

$-(5x - 6)(6x - 5)(x - 1)(3x + 1) > 0$

Домножим на $-1$ и сменим знак:

$(5x - 6)(6x - 5)(x - 1)(3x + 1) < 0$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6}{5}$, $x_2 = \frac{5}{6}$, $x_3 = 1$, $x_4 = -\frac{1}{3}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$, $1$, $\frac{6}{5}$. Они образуют пять интервалов.

Расстановка знаков на интервалах, начиная с крайнего правого: +, -, +, -, +. Схема: $(-\infty; -\frac{1}{3}) \rightarrow (+)$, $(-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}) \rightarrow (-)$, $(\frac{5}{6}; 1) \rightarrow (+)$, $(1; \frac{6}{5}) \rightarrow (-)$, $(\frac{6}{5}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}) \cup (1; \frac{6}{5})$.

е) $(10x - 1)(x + 2)(7x - 4)(7x + 5) < 0$

Неравенство уже в стандартном виде. Найдем его корни:

$10x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{10}$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

$7x - 4 = 0 \implies x_3 = \frac{4}{7}$

$7x + 5 = 0 \implies x_4 = -\frac{5}{7}$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2$, $-\frac{5}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{4}{7}$.

Определяем знаки на получившихся интервалах. Справа налево знаки чередуются: +, -, +, -, +. Схема: $(-\infty; -2) \rightarrow (+)$, $(-2; -\frac{5}{7}) \rightarrow (-)$, $(-\frac{5}{7}; \frac{1}{10}) \rightarrow (+)$, $(\frac{1}{10}; \frac{4}{7}) \rightarrow (-)$, $(\frac{4}{7}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Так как знак неравенства "меньше", выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{1}{10}; \frac{4}{7})$.