Номер 133, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

133. a) Найдите все такие $x$, для каждого из которых выражение $(x-1)(x-3)(x-4)$ принимает значение, равное нулю.

б) Определите интервалы, на которых выражение $(x-1) \times (x-3)(x-4)$ принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 4)$ равно нулю, нужно приравнять к нулю каждый множитель и решить полученные уравнения.
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
3) $x - 4 = 0 \implies x_3 = 4$
Следовательно, выражение равно нулю при трех значениях $x$.
Ответ: $x = 1, x = 3, x = 4$.

б) Для определения интервалов, на которых выражение принимает положительные или отрицательные значения, используем метод интервалов. Корни выражения, найденные в пункте а), это $x=1, x=3, x=4$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из этих интервалов, подставив любое значение из интервала.

1. Интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем точку $x=0$.
$(0 - 1)(0 - 3)(0 - 4) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$.
Значение отрицательное (-).

2. Интервал $(1; 3)$. Возьмем точку $x=2$.
$(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) = (1) \cdot (-1) \cdot (-2) = 2$.
Значение положительное (+).

3. Интервал $(3; 4)$. Возьмем точку $x=3.5$.
$(3.5 - 1)(3.5 - 3)(3.5 - 4) = (2.5) \cdot (0.5) \cdot (-0.5) = -0.625$.
Значение отрицательное (-).

4. Интервал $(4; +\infty)$. Возьмем точку $x=5$.
$(5 - 1)(5 - 3)(5 - 4) = (4) \cdot (2) \cdot (1) = 8$.
Значение положительное (+).

Таким образом, мы определили знаки выражения на каждом интервале.
Выражение принимает положительные значения ($>0$) на интервалах $(1; 3)$ и $(4; +\infty)$.
Выражение принимает отрицательные значения ($<0$) на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; 4)$.
Ответ: выражение принимает положительные значения при $x \in (1; 3) \cup (4; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 4)$.