Номер 131, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

131. a) Если число $x$ расположено между числами 2 и 5, какой знак имеет каждый из двучленов $x - 2$ и $x - 5$? Какой знак имеет выражение $(x - 2)(x - 5)$?

б) Если число $x$ расположено левее числа $-7$, какой знак имеет каждый из двучленов $x + 7$ и $x - 8$ и выражение $(x + 7)(x - 8)$?

а)

Условие, что число $x$ расположено между числами 2 и 5, можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 5$.

1. Определим знак двучлена $x - 2$.
Поскольку $x > 2$, то при вычитании из $x$ числа 2 получится положительное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести 2 в левую часть неравенства $x > 2$, мы получим $x - 2 > 0$.
Таким образом, двучлен $x - 2$ имеет знак плюс (+).

2. Определим знак двучлена $x - 5$.
Поскольку $x < 5$, то при вычитании из $x$ числа 5 получится отрицательное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести 5 в левую часть неравенства $x < 5$, мы получим $x - 5 < 0$.
Таким образом, двучлен $x - 5$ имеет знак минус (-).

3. Определим знак выражения $(x - 2)(x - 5)$.
Это выражение является произведением двух множителей, знаки которых мы определили: ($x - 2$) — положительный, а ($x - 5$) — отрицательный. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда является отрицательным числом.
Следовательно, выражение $(x - 2)(x - 5)$ имеет знак минус (-).

Ответ: двучлен $x - 2$ имеет знак плюс, двучлен $x - 5$ имеет знак минус, выражение $(x - 2)(x - 5)$ имеет знак минус.

б)

Условие, что число $x$ расположено левее числа -7, можно записать в виде неравенства: $x < -7$.

1. Определим знак двучлена $x + 7$.
Поскольку $x < -7$, то при прибавлении к $x$ числа 7 получится отрицательное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести -7 в левую часть неравенства $x < -7$, мы получим $x + 7 < 0$.
Таким образом, двучлен $x + 7$ имеет знак минус (-).

2. Определим знак двучлена $x - 8$.
Поскольку $x < -7$, то $x$ является отрицательным числом. При вычитании из отрицательного числа положительного числа 8, результат будет еще более отрицательным. Например, если $x = -10$, то $x - 8 = -10 - 8 = -18 < 0$. Формально, так как $x < -7$, то $x - 8 < -7 - 8$, что означает $x - 8 < -15$.
Таким образом, двучлен $x - 8$ имеет знак минус (-).

3. Определим знак выражения $(x + 7)(x - 8)$.
Это выражение является произведением двух множителей, знаки которых мы определили: ($x + 7$) — отрицательный, и ($x - 8$) — отрицательный. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.
Следовательно, выражение $(x + 7)(x - 8)$ имеет знак плюс (+).

Ответ: двучлен $x + 7$ имеет знак минус, двучлен $x - 8$ имеет знак минус, выражение $(x + 7)(x - 8)$ имеет знак плюс.