Номер 124, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

124. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2}};$

б) $y = \frac{-x}{\sqrt{x^2 - 1}};$

в) $y = \frac{8x - 7}{\sqrt{x^2 + 4}};$

г) $y = \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x^2 - 4}};$

д) $y = \frac{9x}{\sqrt{x^2 + 3}};$

е) $y = \frac{-12}{\sqrt{x^2 - 14x + 4}};$

ж) $y = \frac{1}{\sqrt{3x - 2 - x^2}};$

з) $y = \frac{-5x}{\sqrt{x^2 - 3}};$

и) $y = \frac{5 + x^2}{\sqrt{5 - x^2}}.$

а)

Дана функция $y = \frac{4}{\sqrt{x^2}}$.

Область определения функции задается условием, при котором выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, строго больше нуля. Это необходимо, так как извлечение квадратного корня возможно только из неотрицательного числа, а деление на ноль недопустимо.

Следовательно, мы должны решить неравенство: $x^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, является положительным числом. $x^2 = 0$ только при $x = 0$. Таким образом, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Область определения функции — это все действительные числа, за исключением нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{-x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 1 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x + 1) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 1 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \frac{8x - 7}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 + 4 > 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Так как $x^2 + 4$ всегда больше или равно 4, неравенство $x^2 + 4 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x^2 - 4}}$.

Область определения определяется условием $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 4 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

д)

Дана функция $y = \frac{9x}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 + 3 > 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$.

Неравенство $x^2 + 3 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

е)

Дана функция $y = \frac{-12}{\sqrt{x^2 - 14x + 4}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 - 14x + 4 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 196 - 16 = 180$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{14 \pm 6\sqrt{5}}{2} = 7 \pm 3\sqrt{5}$.

Получаем корни $x_1 = 7 - 3\sqrt{5}$ и $x_2 = 7 + 3\sqrt{5}$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 14x + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < 7 - 3\sqrt{5}$ или $x > 7 + 3\sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7 - 3\sqrt{5}) \cup (7 + 3\sqrt{5}, +\infty)$.

ж)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{3x - 2 - x^2}}$.

Область определения задается неравенством $3x - 2 - x^2 > 0$.

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.

Решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

з)

Дана функция $y = \frac{-5x}{\sqrt{x^2 - 3}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 - 3 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 3 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$. Парабола $f(x) = x^2 - 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

и)

Дана функция $y = \frac{5 + x^2}{\sqrt{5 - x^2}}$.

Область определения задается неравенством $5 - x^2 > 0$.

Перенесем $x^2$ в правую часть: $5 > x^2$, или $x^2 < 5$.

Это неравенство равносильно $|x| < \sqrt{5}$.

Решением является интервал $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.