Номер 123, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

123. a) $|x^2 - 6x + 8| < 3;$

б) $|x^2 + 2x - 4| > 4;$

в) $4 < |x^2 - 2x - 4| < 11;$

г) $6 < |x^2 + 4x - 6| < 15.$

а)

Исходное неравенство: $|x^2 - 6x + 8| < 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применительно к нашему случаю:

$-3 < x^2 - 6x + 8 < 3$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 3 \\ x^2 - 6x + 8 > -3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 3$.

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (1; 5)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 > -3$.

$x^2 - 6x + 11 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 11$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен принимает положительные значения при любых значениях $x$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(1; 5) \cap (-\infty; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(1; 5)$.

Ответ: $x \in (1; 5)$.

б)

Исходное неравенство: $|x^2 + 2x - 4| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применительно к нашему случаю:

$x^2 + 2x - 4 > 4$ или $x^2 + 2x - 4 < -4$.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 4 > 4$.

$x^2 + 2x - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 8 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 4 < -4$.

$x^2 + 2x < 0$

$x(x + 2) < 0$

Корни уравнения $x(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.

Парабола $y = x^2 + 2x$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x(x+2) < 0$ выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-2; 0)$.

3. Объединим решения обоих неравенств:

$(-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \cup (-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $4 < |x^2 - 2x - 4| < 11$.

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x^2 - 2x - 4| > 4 \\ |x^2 - 2x - 4| < 11 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $|x^2 - 2x - 4| > 4$.

Оно распадается на совокупность:

$x^2 - 2x - 4 > 4$ или $x^2 - 2x - 4 < -4$.

а) $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни $x^2 - 2x - 8 = 0$ это $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.

б) $x^2 - 2x < 0 \implies x(x-2) < 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Решение: $x \in (0; 2)$.

Решение первого неравенства системы — это объединение решений а) и б): $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $|x^2 - 2x - 4| < 11$.

Оно равносильно двойному неравенству $-11 < x^2 - 2x - 4 < 11$, что является системой:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4 < 11 \\ x^2 - 2x - 4 > -11 \end{cases}$

а) $x^2 - 2x - 15 < 0$. Корни $x^2 - 2x - 15 = 0$ это $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. Решение: $x \in (-3; 5)$.

б) $x^2 - 2x + 7 > 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$. Так как $D<0$ и старший коэффициент положителен, неравенство верно для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решение второго неравенства системы — это пересечение решений а) и б): $x \in (-3; 5)$.

3. Найдем пересечение решений исходной системы:

$\big( (-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty) \big) \cap (-3; 5)$.

Разобьем на интервалы:

$(-\infty; -2) \cap (-3; 5) = (-3; -2)$

$(0; 2) \cap (-3; 5) = (0; 2)$

$(4; +\infty) \cap (-3; 5) = (4; 5)$

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (0; 2) \cup (4; 5)$.

г)

Исходное неравенство: $6 < |x^2 + 4x - 6| < 15$.

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x^2 + 4x - 6| > 6 \\ |x^2 + 4x - 6| < 15 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $|x^2 + 4x - 6| > 6$.

Оно распадается на совокупность:

$x^2 + 4x - 6 > 6$ или $x^2 + 4x - 6 < -6$.

а) $x^2 + 4x - 12 > 0$. Корни $x^2 + 4x - 12 = 0$ это $x_1 = -6$, $x_2 = 2$. Решение: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

б) $x^2 + 4x < 0 \implies x(x+4) < 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 0$. Решение: $x \in (-4; 0)$.

Решение первого неравенства системы: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $|x^2 + 4x - 6| < 15$.

Оно равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 6 < 15 \\ x^2 + 4x - 6 > -15 \end{cases}$

а) $x^2 + 4x - 21 < 0$. Корни $x^2 + 4x - 21 = 0$ это $x_1 = -7$, $x_2 = 3$. Решение: $x \in (-7; 3)$.

б) $x^2 + 4x + 9 > 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$. Неравенство верно для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решение второго неравенства системы: $x \in (-7; 3)$.

3. Найдем пересечение решений исходной системы:

$\big( (-\infty; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty) \big) \cap (-7; 3)$.

Разобьем на интервалы:

$(-\infty; -6) \cap (-7; 3) = (-7; -6)$

$(-4; 0) \cap (-7; 3) = (-4; 0)$

$(2; +\infty) \cap (-7; 3) = (2; 3)$

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; 3)$.