Номер 118, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (118–123):

118. а) $0.5x^2 > x;$

б) $1.3x^2 < 2x;$

в) $3\frac{1}{2} x < x^2;$

г) $\frac{7}{8} x > 1\frac{3}{5} x^2;$

д) $7 > 4x^2;$

е) $5 < -x^2;$

ж) $2x^2 < 3;$

з) $3x^2 > -5.$

а) $0,5x^2 > x$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$0,5x^2 - x > 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) > 0$
Решим соответствующее уравнение $x(0,5x - 1) = 0$, чтобы найти корни.
Корни: $x_1 = 0$ и $0,5x - 1 = 0$, откуда $x_2 = 2$.
Это неравенство для квадратичной функции $y = 0,5x^2 - x$, график которой — парабола с ветвями вверх (т.к. коэффициент $0,5 > 0$). Парабола находится выше оси Ox (т.е. $y > 0$) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

б) $1,3x^2 < 2x$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$1,3x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(1,3x - 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(1,3x - 2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $1,3x - 2 = 0$, откуда $x_2 = \frac{2}{1,3} = \frac{20}{13}$.
График функции $y = 1,3x^2 - 2x$ — парабола с ветвями вверх ($1,3 > 0$). Парабола находится ниже оси Ox (т.е. $y < 0$) в интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; \frac{20}{13})$.
Ответ: $(0; \frac{20}{13})$

в) $3\frac{1}{2}x < x^2$
Переведем смешанную дробь в десятичную $3\frac{1}{2} = 3,5$.
$3,5x < x^2$
Перенесем все в правую часть:
$0 < x^2 - 3,5x$, что то же самое, что $x^2 - 3,5x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 3,5) > 0$
Корни уравнения $x(x - 3,5) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.
График функции $y = x^2 - 3,5x$ — парабола с ветвями вверх. Она положительна вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (3,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (3,5; +\infty)$

г) $\frac{7}{8}x > 1\frac{3}{5}x^2$
Переведем смешанную дробь в неправильную $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$\frac{7}{8}x > \frac{8}{5}x^2$
Перенесем все в правую часть: $0 > \frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x$, или $\frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(\frac{8}{5}x - \frac{7}{8}) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(\frac{8}{5}x - \frac{7}{8}) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $\frac{8}{5}x = \frac{7}{8}$, откуда $x_2 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{64}$.
График $y = \frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (0; \frac{35}{64})$.
Ответ: $(0; \frac{35}{64})$

д) $7 > 4x^2$
Перепишем неравенство: $4x^2 < 7$, или $4x^2 - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 7 = 0$.
$4x^2 = 7 \implies x^2 = \frac{7}{4} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{7}{4}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$.
График $y = 4x^2 - 7$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2})$

е) $5 < -x^2$
Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + 5 < 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Следовательно, выражение $x^2 + 5$ всегда будет больше или равно $5$, то есть $x^2+5 \ge 5$.
Таким образом, левая часть неравенства никогда не может быть меньше нуля.
Неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет

ж) $2x^2 < 3$
Перепишем неравенство: $2x^2 - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3 = 0$.
$2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.
График $y = 2x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (-\sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}})$.
Ответ: $(-\sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}})$

з) $3x^2 > -5$
Перенесем $-5$ в левую часть: $3x^2 + 5 > 0$.
Выражение $x^2 \ge 0$, поэтому $3x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, сумма $3x^2 + 5$ всегда будет больше или равна $5$.
Так как $5 > 0$, то неравенство $3x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x$ — любое число, или $(-\infty; +\infty)$