Номер 113, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

113. Как решают неравенства, левые и правые части которых многочлены?

Для решения неравенств, в которых левая и правая части являются многочленами, применяется метод интервалов. Этот метод основан на свойстве непрерывности многочлена: многочлен может изменить свой знак только в тех точках, где его значение равно нулю. Алгоритм решения следующий:

1. Приведение неравенства к стандартному виду

Необходимо перенести все слагаемые в одну часть неравенства (как правило, в левую), чтобы в другой части остался ноль. В результате неравенство примет один из следующих видов: $P(x) > 0$, $P(x) < 0$, $P(x) \geq 0$ или $P(x) \leq 0$, где $P(x)$ — многочлен.

2. Нахождение корней многочлена

Далее нужно найти все корни многочлена $P(x)$, решив уравнение $P(x) = 0$. Эти корни являются "граничными" точками, которые разделяют числовую прямую на интервалы.

3. Разложение многочлена на множители

Для удобства анализа знаков рекомендуется разложить многочлен $P(x)$ на множители, например, вида $(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}...$, где $x_1, x_2, ...$ — корни, а $k_1, k_2, ...$ — их кратности.

4. Анализ знаков на числовой прямой (собственно метод интервалов)

Найденные корни отмечаются на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы, в каждом из которых многочлен $P(x)$ сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, можно:

- Взять любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить ее в $P(x)$. Знак результата и будет знаком всего интервала.

- Определить знак в крайнем правом интервале (он совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена) и затем, двигаясь справа налево, менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.

5. Запись ответа

В зависимости от знака исходного неравенства ($>, <, \geq, \leq$), выбираются подходящие интервалы. Если неравенство строгое ($>$ или <), граничные точки (корни) не включаются в решение, и для записи интервалов используются круглые скобки. Если неравенство нестрогое ($\geq$ или $\leq$), корни включаются в решение, и используются квадратные скобки.

Пример:

Решить неравенство: $x^3 - 2x^2 > 5x - 6$.

1. Приводим к стандартному виду:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 > 0$

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

2. Находим корни многочлена $P(x)=0$:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$.

Разложим многочлен на множители, разделив его на $(x-1)$:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x-1) = x^2 - x - 6$

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Его корни $x = 3$ и $x = -2$.

Таким образом, $P(x) = (x-1)(x-3)(x+2)$. Корни многочлена: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$.

3. Анализируем знаки на числовой прямой:

Отмечаем точки -2, 1, 3 на оси. Они создают четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знаки $P(x)$ в интервалах. Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ знак будет `+` (например, при $x=4$, $P(4)=(4-1)(4-3)(4+2) > 0$).

Двигаясь справа налево, получаем следующую расстановку знаков: `---` $(-2)$ `+++` $(1)$ `---` $(3)$ `+++`.

4. Записываем ответ:

Нас интересуют интервалы, где $P(x) > 0$. Это интервалы со знаком `+`. Поскольку неравенство строгое, концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (3; +\infty)$.