Номер 111, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

111. a) $x^2 - 4.8x - 1 < 0;$

б) $x^2 + 3.5x - 2 > 0.$

а)

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 4,8x - 1 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4,8x - 1 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4,8$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 23,04 + 4 = 27,04$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4,8 \pm \sqrt{27,04}}{2 \cdot 1} = \frac{4,8 \pm 5,2}{2}$.
$x_1 = \frac{4,8 - 5,2}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$.
$x_2 = \frac{4,8 + 5,2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Мы имеем дело с параболой $y = x^2 - 4,8x - 1$, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $-0,2$ и $5$.
Неравенство имеет вид $y < 0$, то есть нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $(-0,2; 5)$.

б)

Решим квадратное неравенство $x^2 + 3,5x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3,5x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=3,5$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12,25 + 8 = 20,25$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3,5 \pm \sqrt{20,25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3,5 \pm 4,5}{2}$.
$x_1 = \frac{-3,5 - 4,5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-3,5 + 4,5}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Графиком функции $y = x^2 + 3,5x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $-4$ и $0,5$.
Неравенство имеет вид $y > 0$, следовательно, ищем значения $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (0,5; +\infty)$.