Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

106. Имеет ли неравенство второй степени решения, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$)? Какие случаи возможны?

Да, неравенство второй степени может иметь решения, если его дискриминант меньше нуля, но может и не иметь. Это зависит от знака старшего коэффициента и знака самого неравенства.

Рассмотрим общий вид неравенства второй степени $ax^2 + bx + c \lor 0$, где $\lor$ — это один из знаков $>, <, \geq, \leq$, и $a \neq 0$. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ определяет количество его действительных корней. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = ax^2 + bx + c$ не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Следовательно, вся парабола расположена либо строго выше, либо строго ниже оси $Ox$.

Для определения, имеет ли неравенство решения, необходимо рассмотреть два случая, зависящие от знака старшего коэффициента $a$.

Случай 1: Старший коэффициент $a > 0$

Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Так как парабола не пересекает ось $Ox$ (поскольку $D < 0$), она полностью расположена в верхней полуплоскости. Это означает, что значение трехчлена $ax^2 + bx + c$ всегда положительно при любом значении $x$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \geq 0$ также выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений, так как трехчлен всегда положителен.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \leq 0$ также не имеет решений.

Случай 2: Старший коэффициент $a < 0$

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. Так как парабола не пересекает ось $Ox$ ($D < 0$), она полностью расположена в нижней полуплоскости. Это означает, что значение трехчлена $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ не имеет решений, так как трехчлен всегда отрицателен.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \geq 0$ также не имеет решений.
• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \leq 0$ также выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, неравенство второй степени при $D<0$ может иметь решения. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$ и знака неравенства. Возможны следующие случаи:
1. Если $a > 0$ и $D < 0$, то неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c \geq 0$ имеют решением любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), а неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ и $ax^2 + bx + c \leq 0$ решений не имеют.
2. Если $a < 0$ и $D < 0$, то неравенства вида $ax^2 + bx + c < 0$ и $ax^2 + bx + c \leq 0$ имеют решением любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), а неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c \geq 0$ решений не имеют.

107. С помощью графика квадратичной функции объясните, почему неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D < 0$ не имеет решений.

Для того чтобы с помощью графика объяснить, почему данное неравенство не имеет решений, рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях. Решить неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ — это то же самое, что найти такие значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится ниже оси абсцисс (оси Ox).

Проанализируем каждое из условий:

1. Условие $a > 0$. Коэффициент $a$ при $x^2$ определяет направление ветвей параболы, которая является графиком квадратичной функции. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

2. Условие $D < 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ определяет количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ox. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не имеет ни одной общей точки с осью Ox, то есть не пересекает ее и не касается.

Теперь объединим эти два факта. Мы имеем параболу, у которой ветви направлены вверх, и которая не пересекает ось Ox. Единственное возможное расположение такой параболы на координатной плоскости — это расположение целиком в верхней полуплоскости, то есть полностью над осью Ox.

Таким образом, для любого действительного значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ будет строго положительным ($y > 0$). Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ требует найти такие значения $x$, при которых $y < 0$. Поскольку, как мы установили, график функции полностью лежит выше оси Ox, таких значений $x$ не существует.

Ответ: При $a > 0$ ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх. При $D < 0$ эта парабола не пересекает ось абсцисс. Следовательно, весь график функции расположен над осью абсцисс, а это означает, что для любого $x$ значение выражения $ax^2 + bx + c$ всегда положительно. Поэтому неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений.

108. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - x + 3 > 0;$

б) $x^2 + 2x + 2 < 0;$

в) $x^2 - 3x + 4 < 0;$

г) $x^2 + x + 5 < 0.$

а) $x^2 - x + 3 > 0$

Для решения неравенства используем график квадратичной функции $y = x^2 - x + 3$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - x + 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

3. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена выше оси Ox. Это значит, что для любого значения $x$ значение функции $y = x^2 - x + 3$ будет положительным.

Таким образом, неравенство $x^2 - x + 3 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 + 2x + 2 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 + 2x + 2$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Ветви параболы направлены вверх, и она не пересекает ось Ox. Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение функции $y = x^2 + 2x + 2$ всегда положительно.

Неравенство $x^2 + 2x + 2 < 0$ требует найти значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Таких значений не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $x^2 - 3x + 4 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 - 3x + 4$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 3x + 4 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Парабола с ветвями вверх, не пересекающая ось Ox, полностью лежит в верхней полуплоскости (выше оси Ox). Это значит, что $y = x^2 - 3x + 4 > 0$ для всех $x$.

Мы ищем решения неравенства $x^2 - 3x + 4 < 0$, то есть значения $x$, при которых график лежит ниже оси Ox. Таких значений не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $x^2 + x + 5 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 + x + 5$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 + x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Парабола с ветвями, направленными вверх, и без точек пересечения с осью Ox, целиком расположена выше этой оси. Следовательно, $y = x^2 + x + 5$ всегда больше нуля.

Неравенство $x^2 + x + 5 < 0$ требует найти значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Таких значений нет.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

Решите неравенство (109—111):

109. а) $3x^2 - 2x + 1 > 0;$

б) $5x^2 - 4x + 2 < 0;$

в) $-4x^2 + x - 6 < 0;$

г) $-7x^2 + 3x - 1 > 0.$

а) $3x^2 - 2x + 1 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 - 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола.
1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 - 2x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
3. Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.
4. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $3x^2 - 2x + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Таким образом, неравенство $3x^2 - 2x + 1 > 0$ верно для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $5x^2 - 4x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 4x + 2$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 4x + 2 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 16 - 40 = -24$.
3. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вверх, которая не пересекает ось Ox, полностью находится в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $5x^2 - 4x + 2$ всегда принимает положительные значения.
5. Требуется найти значения $x$, при которых $5x^2 - 4x + 2 < 0$. Так как левая часть неравенства всегда положительна, то отрицательных значений она принимать не может.
Ответ: нет решений.

в) $-4x^2 + x - 6 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -4x^2 + x - 6$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -4$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант уравнения $-4x^2 + x - 6 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-6) = 1 - 96 = -95$.
3. Дискриминант $D < 0$, значит, действительных корней у уравнения нет, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вниз, которая не пересекает ось Ox, полностью находится в нижней полуплоскости. Это означает, что выражение $-4x^2 + x - 6$ всегда принимает отрицательные значения.
5. Таким образом, неравенство $-4x^2 + x - 6 < 0$ верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $-7x^2 + 3x - 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -7x^2 + 3x - 1$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -7$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант уравнения $-7x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-1) = 9 - 28 = -19$.
3. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вниз, не пересекающая ось Ox, целиком расположена ниже этой оси. Следовательно, выражение $-7x^2 + 3x - 1$ всегда отрицательно.
5. Требуется найти значения $x$, при которых $-7x^2 + 3x - 1 > 0$. Поскольку левая часть неравенства всегда отрицательна, она не может быть больше нуля.
Ответ: нет решений.

110. a) $0.2x^2 - x + 100 > 0$;

б) $1.7x^2 + x + 10 < 0$;

в) $\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8 < 0$;

г) $\frac{2x^2 - x}{3} - 12 > 0$.

a)

Чтобы решить неравенство $0,2x^2 - x + 100 > 0$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 0,2x^2 - x + 100$. Найдем нули этой функции, решив уравнение $0,2x^2 - x + 100 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 0,2 \cdot 100 = 1 - 0,8 \cdot 100 = 1 - 80 = -79$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Старший коэффициент $a = 0,2$ положителен ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, выражение $0,2x^2 - x + 100$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Чтобы решить неравенство $1,7x^2 + x + 10 < 0$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 1,7x^2 + x + 10$. Найдем нули этой функции, решив уравнение $1,7x^2 + x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1,7 \cdot 10 = 1 - 68 = -67$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1,7 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $1,7x^2 + x + 10$ всегда принимает положительные значения. Таким образом, неравенство $1,7x^2 + x + 10 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8 < 0$.

Для удобства избавимся от дробных коэффициентов, умножив обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 5 и 7, то есть на 35. Так как $35 > 0$, знак неравенства не изменится.

$35 \cdot \left(\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8\right) < 35 \cdot 0$

$7x^2 - 15x + 280 < 0$.

Теперь решим полученное неравенство. Найдем корни уравнения $7x^2 - 15x + 280 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 280 = 225 - 7840 = -7615$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 7 > 0$, парабола $y = 7x^2 - 15x + 280$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $7x^2 - 15x + 280$ всегда положительно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Рассмотрим неравенство $\frac{2x^2 - x}{3} - 12 > 0$.

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$2x^2 - x - 36 > 0$.

Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4,5$.

Старший коэффициент $a=2 > 0$, значит, ветви параболы $y = 2x^2 - x - 36$ направлены вверх. Неравенство $2x^2 - x - 36 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, то есть $x < -4$ или $x > 4,5$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (4,5; +\infty)$.

111. a) $x^2 - 4.8x - 1 < 0;$

б) $x^2 + 3.5x - 2 > 0.$

а)

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 4,8x - 1 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4,8x - 1 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4,8$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 23,04 + 4 = 27,04$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4,8 \pm \sqrt{27,04}}{2 \cdot 1} = \frac{4,8 \pm 5,2}{2}$.
$x_1 = \frac{4,8 - 5,2}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$.
$x_2 = \frac{4,8 + 5,2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Мы имеем дело с параболой $y = x^2 - 4,8x - 1$, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $-0,2$ и $5$.
Неравенство имеет вид $y < 0$, то есть нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $(-0,2; 5)$.

б)

Решим квадратное неравенство $x^2 + 3,5x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3,5x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=3,5$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12,25 + 8 = 20,25$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3,5 \pm \sqrt{20,25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3,5 \pm 4,5}{2}$.
$x_1 = \frac{-3,5 - 4,5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-3,5 + 4,5}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Графиком функции $y = x^2 + 3,5x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $-4$ и $0,5$.
Неравенство имеет вид $y > 0$, следовательно, ищем значения $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (0,5; +\infty)$.