Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

95. Имеет ли решения неравенство второй степени, если его дискриминант равен нулю? Какие случаи возможны?

Да, неравенство второй степени, дискриминант которого равен нулю, может иметь решения, но не во всех случаях. Наличие и характер решений зависят от знака неравенства и от знака старшего коэффициента.

Рассмотрим неравенство второй степени $ax^2 + bx + c \lor 0$, где $\lor$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$.
Если дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0$, то соответствующий квадратный трехчлен имеет один корень (или два совпадающих корня) $x_0 = -b/(2a)$. В этом случае трехчлен можно представить в виде полного квадрата:$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.

Выражение $(x - x_0)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - x_0)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Оно равно нулю только при $x = x_0$.Поэтому знак всего выражения $a(x - x_0)^2$ зависит только от знака коэффициента $a$.

Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 > 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 > 0$. Оно выполняется для всех $x$, кроме $x = x_0$.
  Ответ: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
  Ответ: Решений нет.

Случай 2: Неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 \ge 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 \ge 0$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$.
  Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 \le 0$. Это неравенство выполняется только в одном случае: когда $(x - x_0)^2 = 0$, то есть при $x = x_0$.
  Ответ: $x = x_0$.

Случай 3: Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 < 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 < 0$. Оно не имеет решений.
  Ответ: Решений нет.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 > 0$. Оно выполняется для всех $x$, кроме $x = x_0$.
  Ответ: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$.

Случай 4: Неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 \le 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 \le 0$. Оно выполняется только при $x = x_0$.
  Ответ: $x = x_0$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 \ge 0$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$.
  Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

96. С помощью графика квадратичной функции объясните, почему неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D = 0$ не имеет решений?

Рассмотрим график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Это парабола.

В задании даны два условия:

1. Коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
2. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0$. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один действительный корень. Геометрически это значит, что график функции, то есть парабола, имеет с осью абсцисс (осью Ox) ровно одну общую точку. Эта точка касания является вершиной параболы.

Таким образом, при одновременном выполнении этих двух условий, мы имеем параболу, ветви которой направлены вверх, и её самая нижняя точка (вершина) лежит на оси Ox.

Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ просит найти такие значения $x$, при которых соответствующий график функции $y = ax^2 + bx + c$ находится ниже оси Ox.

Поскольку наша парабола ветвями вверх касается оси Ox в своей вершине, её наименьшее значение равно нулю (и достигается оно в вершине). Все остальные точки параболы расположены выше оси Ox, то есть для них значения функции строго положительны ($y > 0$). Нет ни одной точки параболы, которая находилась бы ниже оси Ox.

Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $ax^2 + bx + c$ было бы отрицательным.

Ответ: При $a > 0$ ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх, а при $D = 0$ парабола касается оси Ox в одной точке (своей вершине). Это означает, что все точки параболы лежат на оси Ox или выше неё, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. Таким образом, не существует значений $x$, для которых $y < 0$, и неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений.

97. Найдите все x, при каждом из которых выражение:

а) $2x^2$;

б) $\frac{x^2}{2}$;

в) $(x+3)^2$;

г) $(x-1)^2$

принимает положительное значение.

а) Чтобы выражение $2x^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$2x^2 > 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Равенство $x^2 = 0$ достигается только при $x = 0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме нуля.
Ответ: $x \ne 0$.

б) Чтобы выражение $\frac{x^2}{2}$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{x^2}{2} > 0$
Умножим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$x^2 > 0$
Это неравенство аналогично тому, что было в пункте а). Его решение — все действительные числа $x$, кроме $x = 0$.
Ответ: $x \ne 0$.

в) Чтобы выражение $(x + 3)^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$(x + 3)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения является неотрицательным числом, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \ne -3$.

г) Чтобы выражение $(x - 1)^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$(x - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения является неотрицательным числом, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 1$.
Ответ: $x \ne 1$.

98. Существуют ли x, при которых выражение:

а) $-x^2$;

б) $-3x^2$;

в) $(2-x)^2$;

г) $-(x+4)^2$

принимает положительное значение?

Для решения задачи проанализируем каждое выражение, чтобы определить, может ли оно принимать положительные значения.

Рассмотрим выражение $-x^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором выполняется неравенство $-x^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

• Если $x = 0$, то $-x^2 = -0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne 0$, то $x^2$ будет строго положительным числом ($x^2 > 0$). При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, следовательно, $-x^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Таким образом, выражение $-x^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.

Рассмотрим выражение $-3x^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $-3x^2 > 0$.

Как и в предыдущем случае, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку $3$ — положительное число, то и $3x^2 \ge 0$.

• Если $x = 0$, то $-3x^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$ и $3x^2 > 0$. Умножая на $-1$, получаем $-3x^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Следовательно, выражение $-3x^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.

Рассмотрим выражение $(2-x)^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $(2-x)^2 > 0$.

Выражение $(2-x)^2$ является квадратом действительного числа $(2-x)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2-x)^2 \ge 0$.

Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю: $2 - x = 0$, что происходит при $x = 2$.

Для любого другого значения $x$, где $x \ne 2$, основание $(2-x)$ не будет равно нулю, и его квадрат будет строго положительным числом. Например, если взять $x=1$, то $(2-1)^2 = 1^2 = 1$, и $1 > 0$.

Таким образом, существуют значения $x$ (любые, кроме $x=2$), при которых данное выражение положительно.

Ответ: да, существуют (например, при $x=0$ выражение равно $4$).

Рассмотрим выражение $-(x+4)^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $-(x+4)^2 > 0$.

Выражение $(x+4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x+4)^2 \ge 0$.

• Если $x = -4$, то $x+4 = 0$, и $-(x+4)^2 = -0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne -4$, то $x+4 \ne 0$, и $(x+4)^2 > 0$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-(x+4)^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Следовательно, выражение $-(x+4)^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.

99. Определите, является ли решением неравенства число, указанное в скобках:

а) $25x^2 - 10x + 1 < 0 \left(-1\frac{2}{7}\right)$;

б) $4x^2 + 12x + 9 > 0$ (-2,5);

в) $x^2 - x + 0.25 > 0$ $(\sqrt{3})$;

г) $x^2 + x + \frac{1}{4} < 0$ (-1,7).

Чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, нужно подставить это число в неравенство и проверить, выполняется ли оно.

а) $25x^2 - 10x + 1 < 0 \quad (-1\frac{2}{7})$

Подставим значение $x = -1\frac{2}{7}$ в левую часть неравенства. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x = -1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$.

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат: $25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$. Неравенство можно переписать в виде $(5x - 1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($(5x-1)^2 \ge 0$). Он никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$. Таким образом, число $-1\frac{2}{7}$ не является решением этого неравенства.

Ответ: нет, не является.

б) $4x^2 + 12x + 9 > 0 \quad (-2,5)$

Подставим значение $x = -2,5$ в левую часть неравенства:

$4(-2,5)^2 + 12(-2,5) + 9 = 4(6,25) - 30 + 9 = 25 - 30 + 9 = -5 + 9 = 4$.

Получили неравенство $4 > 0$, которое является верным. Следовательно, число $-2,5$ является решением данного неравенства.

Можно также заметить, что $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$. Неравенство $(2x + 3)^2 > 0$ верно для всех $x$, кроме $x = -1,5$. Так как $-2,5 \neq -1,5$, то число $-2,5$ является решением.

Ответ: да, является.

в) $x^2 - x + 0,25 > 0 \quad (\sqrt{3})$

Подставим значение $x = \sqrt{3}$ в левую часть неравенства:

$(\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} + 0,25 = 3 - \sqrt{3} + 0,25 = 3,25 - \sqrt{3}$.

Нужно проверить, верно ли неравенство $3,25 - \sqrt{3} > 0$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$. Поскольку $3,25 > 2$, то разность $3,25 - \sqrt{3}$ точно положительна. Неравенство верно.

Также можно заметить, что левая часть $x^2 - x + 0,25$ является полным квадратом $(x - 0,5)^2$. Неравенство $(x - 0,5)^2 > 0$ верно для всех значений $x$, кроме $x=0,5$. Так как $\sqrt{3} \neq 0,5$, число $\sqrt{3}$ является решением.

Ответ: да, является.

г) $x^2 + x + \frac{1}{4} < 0 \quad (-1,7)$

Левая часть неравенства $x^2 + x + \frac{1}{4}$ представляет собой полный квадрат суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x + \frac{1}{2})^2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + \frac{1}{2})^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $x$. Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{2})^2 < 0$ не имеет решений. Таким образом, число $-1,7$ не является решением этого неравенства.

Ответ: нет, не является.

Решите неравенство (100—101):

100. а) $(x - 4)^2 > 0;$

б) $(x + 1)^2 > 0;$

в) $(2x - 3)^2 > 0;$

г) $(7 - 4x)^2 > 0.$

а) $(x - 4)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Неравенство $(x - 4)^2 > 0$ будет выполняться всегда, за исключением случая, когда выражение в скобках равно нулю, так как $0^2$ не больше нуля.

Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:

$(x - 4)^2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Таким образом, неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x = 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

б) $(x + 1)^2 > 0$

Аналогично предыдущему пункту, выражение $(x + 1)^2$ всегда неотрицательно. Строгое неравенство $(x + 1)^2 > 0$ нарушается только в том случае, когда $(x + 1)^2 = 0$.

Найдем корень уравнения:

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, за исключением $x = -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

в) $(2x - 3)^2 > 0$

Выражение в квадрате $(2x - 3)^2$ всегда больше или равно нулю. Неравенство является строгим, поэтому нам нужно исключить случай, когда это выражение равно нулю.

Решим уравнение:

$(2x - 3)^2 = 0$

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$

Решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$

г) $(7 - 4x)^2 > 0$

Квадрат выражения $(7 - 4x)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы выполнялось строгое неравенство, основание степени не должно быть равно нулю.

Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:

$(7 - 4x)^2 = 0$

$7 - 4x = 0$

$4x = 7$

$x = \frac{7}{4}$ или $x = 1.75$

Неравенство справедливо для всех действительных чисел, кроме $x = \frac{7}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{4}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$

101. a) $x^2 - 4x + 4 > 0;$

б) $x^2 - 2x + 1 > 0;$

в) $x^2 + 10x + 25 < 0;$

г) $x^2 - 8x + 16 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 - 4x + 4 > 0$.
Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x-2)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, является положительным числом. Выражение $(x-2)^2$ равно нулю только при $x-2=0$, то есть при $x=2$.
Следовательно, неравенство $(x-2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$.
Левая часть неравенства также является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=1$, поэтому $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Перепишем неравенство:
$(x-1)^2 > 0$.
Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$. Оно равно нулю при $x-1=0$, то есть при $x=1$.
Значит, строгое неравенство $(x-1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, за исключением $x=1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 10x + 25 < 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=5$, поэтому $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x+5)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $(x+5)^2$ было бы меньше нуля.
Ответ: решений нет.

г) Решим неравенство $x^2 - 8x + 16 < 0$.
Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=4$, поэтому $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Перепишем неравенство в виде:
$(x-4)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ для всех $x$.
Таким образом, неравенство $(x-4)^2 < 0$ не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет.