Номер 101, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

101. a) $x^2 - 4x + 4 > 0;$

б) $x^2 - 2x + 1 > 0;$

в) $x^2 + 10x + 25 < 0;$

г) $x^2 - 8x + 16 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 - 4x + 4 > 0$.
Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x-2)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, является положительным числом. Выражение $(x-2)^2$ равно нулю только при $x-2=0$, то есть при $x=2$.
Следовательно, неравенство $(x-2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$.
Левая часть неравенства также является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=1$, поэтому $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Перепишем неравенство:
$(x-1)^2 > 0$.
Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$. Оно равно нулю при $x-1=0$, то есть при $x=1$.
Значит, строгое неравенство $(x-1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, за исключением $x=1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 10x + 25 < 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=5$, поэтому $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x+5)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $(x+5)^2$ было бы меньше нуля.
Ответ: решений нет.

г) Решим неравенство $x^2 - 8x + 16 < 0$.
Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=4$, поэтому $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Перепишем неравенство в виде:
$(x-4)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ для всех $x$.
Таким образом, неравенство $(x-4)^2 < 0$ не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет.