Номер 105, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

105. Найдите все x, при каждом из которых неверно неравенство:

а) $x^2 + 8x + 16 > 0$;

б) $9x^2 - 6x + 1 < 0$.

а)

Требуется найти все значения $x$, при которых неверно неравенство $x^2 + 8x + 16 > 0$.

Неравенство является неверным, если выполняется противоположное ему неравенство. Противоположным для строгого неравенства $A > B$ является нестрогое неравенство $A \le B$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

$x^2 + 8x + 16 \le 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$

Подставив это выражение в неравенство, получим:

$(x+4)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+4)^2 \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство $(x+4)^2 \le 0$ может быть верным только в том случае, когда левая часть равна нулю.

$(x+4)^2 = 0$

$x+4 = 0$

$x = -4$

Итак, исходное неравенство неверно только при $x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

б)

Требуется найти все значения $x$, при которых неверно неравенство $9x^2 - 6x + 1 < 0$.

Данное неравенство будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство $A \ge B$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$9x^2 - 6x + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$

Подставив это выражение в неравенство, получим:

$(3x-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Это означает, что неравенство $(3x-1)^2 \ge 0$ справедливо для любого действительного значения $x$.

Следовательно, исходное неравенство $9x^2 - 6x + 1 < 0$ неверно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число.