Номер 102, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

102. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - 2x + 1 > 0$;

б) $x^2 + 6x + 9 < 0$;

в) $x^2 + 4x + 4 < 0$;

г) $4x^2 - 4x + 1 > 0$.

Для решения каждого неравенства используется график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Положение графика (параболы) относительно оси абсцисс (Ox) позволяет определить знаки функции.

а) $x^2 - 2x + 1 > 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 - 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Выражение в левой части неравенства является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Следовательно, функция имеет вид $y = (x - 1)^2$. График этой функции касается оси Ox в точке, где $(x - 1)^2 = 0$, то есть при $x=1$. Эта точка $(1; 0)$ является вершиной параболы. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится на оси Ox, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$ требует найти все значения $x$, при которых $y$ строго больше нуля. Это выполняется для всех $x$, кроме точки касания $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

б) $x^2 + 6x + 9 < 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 + 6x + 9$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Выражение в левой части можно представить в виде полного квадрата: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Функция имеет вид $y = (x + 3)^2$. Вершина параболы касается оси Ox в точке, где $(x + 3)^2 = 0$, то есть при $x=-3$. Так как парабола имеет минимальное значение $y=0$ в своей вершине и её ветви направлены вверх, функция никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 9 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

в) $x^2 + 4x + 4 < 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 + 4x + 4$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Левая часть является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Функция имеет вид $y = (x + 2)^2$. Вершина параболы находится в точке $x=-2$, где она касается оси Ox. Минимальное значение функции равно нулю. Отрицательных значений функция не принимает. Таким образом, неравенство $x^2 + 4x + 4 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

г) $4x^2 - 4x + 1 > 0$

Рассмотрим график функции $y = 4x^2 - 4x + 1$. Ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$). Левая часть является полным квадратом: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$. Функция имеет вид $y = (2x - 1)^2$. Вершина параболы касается оси Ox в точке, где $(2x - 1)^2 = 0$, то есть при $x=\frac{1}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она касается оси Ox в точке $x=\frac{1}{2}$, значения функции $y$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$). Неравенство $y > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, кроме той точки, где $y=0$, то есть $x=\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$.