Номер 96, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

96. С помощью графика квадратичной функции объясните, почему неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D = 0$ не имеет решений?

Рассмотрим график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Это парабола.

В задании даны два условия:

1. Коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
2. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0$. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один действительный корень. Геометрически это значит, что график функции, то есть парабола, имеет с осью абсцисс (осью Ox) ровно одну общую точку. Эта точка касания является вершиной параболы.

Таким образом, при одновременном выполнении этих двух условий, мы имеем параболу, ветви которой направлены вверх, и её самая нижняя точка (вершина) лежит на оси Ox.

Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ просит найти такие значения $x$, при которых соответствующий график функции $y = ax^2 + bx + c$ находится ниже оси Ox.

Поскольку наша парабола ветвями вверх касается оси Ox в своей вершине, её наименьшее значение равно нулю (и достигается оно в вершине). Все остальные точки параболы расположены выше оси Ox, то есть для них значения функции строго положительны ($y > 0$). Нет ни одной точки параболы, которая находилась бы ниже оси Ox.

Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $ax^2 + bx + c$ было бы отрицательным.

Ответ: При $a > 0$ ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх, а при $D = 0$ парабола касается оси Ox в одной точке (своей вершине). Это означает, что все точки параболы лежат на оси Ox или выше неё, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. Таким образом, не существует значений $x$, для которых $y < 0$, и неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений.