Номер 91, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

91. Решите неравенство:

а) $0,25x^2 - 4x + 12 > 0;$

б) $0,5x^2 + 8x + 24 < 0;$

в) $3 - x + \frac{1}{16}x^2 < 0;$

г) $4x + \frac{1}{4}x^2 + 12 > 0;$

д) $5x^2 - x - 7 < 0;$

е) $8x^2 - 3 - 2x > 0;$

ж) $2x^2 + 5 - 17x > 0;$

з) $15x + 3 + 4x^2 < 0.$

а) $0,25x^2 - 4x + 12 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала решим соответствующее квадратное уравнение $0,25x^2 - 4x + 12 = 0$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{64}}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{64}}{2} = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = 0,25x^2 - 4x + 12$ пересекает ось Ox. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 0,25 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Неравенство $0,25x^2 - 4x + 12 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (12; +\infty)$

б) $0,5x^2 + 8x + 24 < 0$

Решим уравнение $0,5x^2 + 8x + 24 = 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 16x + 48 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-16 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-16 - 8}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-16 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-16 + 8}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ветви параболы $y = 0,5x^2 + 8x + 24$ направлены вверх ($a = 0,5 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, значит, нам нужен интервал, где парабола находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями.

Ответ: $x \in (-12; -4)$

в) $3 - x + \frac{1}{16}x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $\frac{1}{16}x^2 - x + 3 < 0$.

Решим уравнение $\frac{1}{16}x^2 - x + 3 = 0$. Умножим на 16:

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Это уравнение мы уже решали в пункте а). Его корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$.

Ветви параболы $y = \frac{1}{16}x^2 - x + 3$ направлены вверх ($a = \frac{1}{16} > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому ищем интервал, где парабола ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (4; 12)$

г) $4x + \frac{1}{4}x^2 + 12 > 0$

Перепишем неравенство: $\frac{1}{4}x^2 + 4x + 12 > 0$.

Решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 + 4x + 12 = 0$. Умножим на 4:

$x^2 + 16x + 48 = 0$

Это уравнение мы решали в пункте б). Корни: $x_1 = -12$ и $x_2 = -4$.

Ветви параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 12$ направлены вверх ($a = \frac{1}{4} > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, значит, решение находится там, где парабола выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (-4; +\infty)$

д) $5x^2 - x - 7 < 0$

Решим уравнение $5x^2 - x - 7 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1 + 140 = 141$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{141}}{10}$

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{141}}{10}$

Ветви параболы $y = 5x^2 - x - 7$ направлены вверх ($a = 5 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому решение находится между корнями.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{141}}{10}; \frac{1 + \sqrt{141}}{10})$

е) $8x^2 - 3 - 2x > 0$

Перепишем неравенство: $8x^2 - 2x - 3 > 0$.

Решим уравнение $8x^2 - 2x - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 10}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Ветви параболы $y = 8x^2 - 2x - 3$ направлены вверх ($a = 8 > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, поэтому решение находится за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$

ж) $2x^2 + 5 - 17x > 0$

Перепишем неравенство: $2x^2 - 17x + 5 > 0$.

Решим уравнение $2x^2 - 17x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 289 - 40 = 249$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{17 - \sqrt{249}}{4}$

$x_2 = \frac{17 + \sqrt{249}}{4}$

Ветви параболы $y = 2x^2 - 17x + 5$ направлены вверх ($a = 2 > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, поэтому решение находится за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{17 - \sqrt{249}}{4}) \cup (\frac{17 + \sqrt{249}}{4}; +\infty)$

з) $15x + 3 + 4x^2 < 0$

Перепишем неравенство: $4x^2 + 15x + 3 < 0$.

Решим уравнение $4x^2 + 15x + 3 = 0$.

Дискриминант: $D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 225 - 48 = 177$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{177}}{8}$

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{177}}{8}$

Ветви параболы $y = 4x^2 + 15x + 3$ направлены вверх ($a = 4 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому решение находится между корнями.

Ответ: $x \in (\frac{-15 - \sqrt{177}}{8}; \frac{-15 + \sqrt{177}}{8})$