Номер 85, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

85. a) $x^2 - x > 0;$

б) $x^2 + x < 0;$

в) $5x^2 - x < 0;$

г) $3x^2 + x > 0;$

д) $4x^2 + 7x > 0;$

е) $3x - 2x^2 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 - x > 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
Так как это квадратичная функция $y = x^2 - x$, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах вне корней.
Нам нужно найти решения для $x^2 - x > 0$, поэтому выбираем интервалы, где функция положительна.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + x < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения между корнями.
Так как по условию $x^2 + x < 0$, нас интересует интервал, где функция отрицательна.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в) Решим неравенство $5x^2 - x < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x - 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $5x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{5}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{5})$ и $(\frac{1}{5}; +\infty)$.
График функции $y = 5x^2 - x$ — парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$). Следовательно, функция отрицательна между корнями.
Поскольку нам нужно найти, где $5x^2 - x < 0$, мы выбираем интервал между корнями.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{5})$.

г) Решим неравенство $3x^2 + x > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{3})$, $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = 3x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, функция положительна на интервалах вне корней.
Так как нам нужно найти, где $3x^2 + x > 0$, мы выбираем интервалы вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (0; +\infty)$.

д) Решим неравенство $4x^2 + 7x > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 + 7x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(4x + 7) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $4x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{4}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{7}{4})$, $(-\frac{7}{4}; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = 4x^2 + 7x$ — парабола с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Следовательно, функция положительна на интервалах вне корней.
Поскольку нам нужно найти, где $4x^2 + 7x > 0$, мы выбираем интервалы вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (0; +\infty)$.

е) Решим неравенство $3x - 2x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x - 2x^2 = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3 - 2x) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; +\infty)$.
График функции $y = 3x - 2x^2$ — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2, что меньше 0). Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервалах вне корней.
Так как нам нужно найти, где $3x - 2x^2 < 0$, мы выбираем интервалы, где функция отрицательна.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.